Презентация Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2) онлайн

Содержание слайда: Лекция 2. Элементы дифференциального исчисления 2.1.Производная функции. Дифференциал 2.2. Методы вычисления производных 2.3. Производные и исследование функций

Содержание слайда: 2.1 Производная функции. Дифференциал Непрерывная функция y=f(x) задана графиком (рис.1) . Отметим на графике точки М0(х0,y0) (у=f(x0)) и М (х0+х) (f(x0+х)). Построим : прямую М0К, касательную к графику функции в точке М0(х0,y0) и прямую М0М, секущую, соединяющую точки М0 и М. Тангенс угла наклона секущей Если х0, то и у0. При этом секущая М0М неограниченно приближается к положению М0К, к касательной к графику у = f(х) в точке М0. Угловой коэффициент касательной получим из предельного перехода

Содержание слайда: Производная - определение. Производной функции у = f(х)в точке х0 называется предел отношения приращения функции у = f(х0+х)-f(х0) к приращению аргумента х при произвольном стремлении х к нулю, если такой предел существует. Обозначается производная функции f(х) в точке х0 символом f'(х0). Для производной в точке х0 можно использовать и другие обозначения, например: Из предыдущих рассуждений следует, что геометрический смысл производной – это тангенс угла наклона касательной к функции в точке

Содержание слайда: Существование производной 1. Необходимое условие существования производной: функция определена и непрерывна в точке (на интервале). Верно и обратное утверждение: если функция дифференцируема в точке х0, то она в этой точке непрерывна Примеры функций, когда необходимое условие в точке х0 не выполняется 2. Достаточное условие существования производной в точке: производная определена и непрерывна в точке (на интервале) Примеры функций, когда достаточное условие не выполняется

Содержание слайда: Геометрический смысл производной, дифференциала Геометрический смысл производной функции в точке х0 , f'(х0) - угловой коэффициент касательной к графику функции у=f(х) в точке М0(х0,y0).(слайд 3) Дифференциал – определение. Рассмотрим рис.1. Приращение у = f(x0+x)- f(x0) при перемещении по секущей равно отрезку NМ, при перемещении по касательной равно отрезку KN. Из треугольника М0KN следует, что KN=M0Ntg. Так как М0N=х , а tg=f'(х0) , то KN = f‘(x0)х. Произведение f'(x0)х называется дифференциалом функции у=f(x) в точке х0 и обозначается dy(х), df(х). Учитывая, что х=dx, получаем dy=df= f'(x0)х =f'(x)dx Геометрический смысл дифференциала (отрезок KN ) – это первое линейное приращение функции в точке х0 + х

Содержание слайда: Механический смысл производной Пусть материальная точка движется в заданном направлении. Пусть S=S(t) – закон движения материальной точки в зависимости от времени t, t0 – время начала движения, S(t0) – путь в момент t0. В момент времени t= t0+t путь равен S(t0+t), приращение пути за отрезок времени t равно S=S(t0+t) - S(t0). Тогда средняя скорость за время t равна а скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t0 (мгновенная скорость) есть производная от пути по времени. Это – «механический смысл» производной. В каком-то смысле – производная функции – это скорость ее изменения – чем круче график, тем больше производная ( по абсолютной величине)

Содержание слайда: Производная и характер графика 1. Монотонно возрастающая функция, Производная положительна 2. Монотонно убывающая функция. Неубывающая функция Производная отрицательна Производная неотрицательна 3. Немонотонная функция. Производная в точках экстремума равна нулю

Содержание слайда: Немонотонные функции Функция имеет интервалы монотонного роста и монотонного спада. В точке а функция имеет минимум, в точке b- максимум. Это – глобальные минимум и максимум Внутренними (локальными) точками минимального или максимального (экстремального) значения являются x1, x2, x3, x4. Точки x1, x3 – точки максимума, точки x2, x4 – точки минимума В этих точках касательная параллельна оси х, тангенс угла наклона равен нулю, следовательно производная в этих точках равна нулю, а вокруг этих точек производная меняет знак. Аналитическое определение точек экстремума связано с нахождением первой производной функции

Содержание слайда: Первая производная и экстремумы функции Если функция у=f(х) имеет конечную производную в каждой точке отрезка [а,Ь], то она дифференцируема на этом отрезке и ее поведение можно исследовать с помощью производной f'(x). Рассмотрим еще раз график функции рис.7. Наблюдаем интервалы возрастания, убывания, точки изменения поведения функции х1, х2, х3, х4. В точках х1, х3 функция имеет наибольшее в окрестности значение, в х2, х4 – наименьшее Определение: любая непрерывная на отрезке [а,Ь] функция достигает на этом отрезке своего минимального и своего максимального значения

Содержание слайда: 1.Необходимое условие существования экстремума в точке: f'(x) =0 . 1.Необходимое условие существования экстремума в точке: f'(x) =0 . Точки, в которых f'(x)=0 являются возможными точками экстремума. Они называются стационарными (характеристическими) точками. 2. Достаточное условие существования экстремума в точке: - точка х=с является стационарной, - производная f'(x) при переходе аргумента через стационарную точку х=с меняет знак Правило знаков: - производная в стационарной точке меняет знак: - с плюса на минус – в точке х=с - максимум; - с минуса на плюс, - в точке х=с - минимум. - производная в стационарной точке не меняет знак. В точке х=с нет ни минимума, ни максимума. Пример. Пусть f(x)= x3. Тогда f'(x) = 3x2=0 и стационарная точка с=0 Очевидно, знак f'(x) = 3x2 вокруг точки с=0 не меняется, в этой точке нет ни минимума, ни максимума График функции f(x)=

Содержание слайда: 2.2. Вычисление производных Таблица производных Основные правила дифференцирования Основные методы вычисления производных

Содержание слайда: Таблица основных формул дифференцирования 1. постоянная 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Содержание слайда: Основные правила дифференцирования Если функции u=u(х) и v=v(х) дифференцируемы в точке х, тогда справедливы следующие правила дифференцирования: 1. Здесь с -постоянная 2. Производная суммы функций 3. Производная произведения функций 4. Производная частного 5. Производная сложной функции. Пусть функция у=f(u), где u=u(х). Тогда у есть сложная функция от х: y=f(u(x)), а u — промежуточный аргумент. Производная от сложной функции находят по правилу или

Содержание слайда: Правила дифференцирования. Примеры 1. Дифференцирование произведения двух функций 2. Дифференцирование частного двух функций

Содержание слайда: Примеры дифференцирование сложной функции Дифференцирование сложной функции производится по формуле или Пример 1 Пусть . Обозначив , получим Тогда , Следовательно,

Содержание слайда: 3. Правило дифференцирования сложной функции Пример 2 Пусть y (х) = e-x Обозначим U(x)= -x; Тогда у (х)= e -x = eU(x) Так как , то

Содержание слайда: Производные высших порядков Пусть функция y=f(x) дифференцируема на интервале (а,Ь) и имеет первую производную у '= f ' (х). Первая производная является функцией и может быть дифференцируема, иметь производную. Производная первой производной называется второй производной, или производной второго порядка и обозначается символами или Производной n-гo порядка функции f(x) называется первая производная от производной (n-1)-го порядка:

Содержание слайда: Вычисление производных высших порядков. Примеры Найти значение третьей производной функции у=е(5х +3). Вычислить ее значение в точке х=0. Вычислим сначала третью производную Подставим х=0. Получим значение третьей производной в точке

Содержание слайда: Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба График дифференцируемой функции называется выпуклым в интервале [а,Ь], если он расположен выше любой своей касательной в этом интервале. Функции на рис.10 выпуклая на интервале, парабола у=х2 (рис.12) выпуклая на всей числовой оси. Для выпуклой функции справедливо: f"(х)>0 График дифференцируемой функции называется вогнутым в интервале [а,Ь], если он расположен ниже любой своей касательной в этом интервале. Для вогнутой функции справедливо: f"(х)<0

Содержание слайда: Точка М0(х0,f(х0)), лежащая на графике и отделяющая выпуклую часть Точка М0(х0,f(х0)), лежащая на графике и отделяющая выпуклую часть графика от вогнутой, называется точкой перегиба функции y=f(x) За выпуклость (вогнутость) функции "отвечает" вторая производная функции y = f(x), f"(х) . Точки перегиба следует искать среди тех точек, в которых: - вторая производная у"= f"(х) =0. Это - возможная точка перегиба. - если слева и справа от возможной точки перегиба вторая производная меняет знак – то это точка перегиба. Если f"(х) меняет знак с минуса на плюс- график изменяется от вогнутого на выпуклый, с плюса на минус – от выпуклого на вогнутый

Содержание слайда: 2. 3. Производные и исследование функции Общая схема исследования Пределы и асимптоты графика функции Примеры решения задач

Содержание слайда: Общая схема исследования функции Рекомендуемая схема исследования 1. Найти область определения функции (ООФ). 2. Определить точки разрыва функции, интервалы непрерывности и вертикальные асимптоты. 3. Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность. 4. Исследовать пределы функции – на границах ООФ, в точках разрыва, найти уравнения асимптот. 5. Найти экстремумы функции и интервалы монотонности. 6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика. 7. Найти точки пересечения графика с осями координат. 8. Построить график. 9. Определить область значений (ОЗФ).

Содержание слайда: Асимптоты графика функции Асимптота к графику функции y=f(x) – это прямая, к которой приближается точка M(x,y), лежащая на графике, в данном процессе: 1. При неограниченном удалении ее от начала координат, при устремлении точки к границам области определения. Здесь говорят о наклонной асимптоте y=kx+b или ее частном случае – горизонтальной асимптоте y=b Величины k и b определяют по формулам 2. В точках разрыва второго рода, хр =a, говорят о вертикальной асимптоте x=a. Это прямая, параллельная оси Y, к которой приближается точка M(x,y), лежащая на графике, при устремлении Точки к точке разрыва.

Содержание слайда: Примеры исследования функции Пример1: Исследовать функцию у=(x-1)(x2-2x-2) =х3-3x2+2 1.Область определения функции (-, +). 2. Точки разрыва – нет 3. Функция общего вида 4. Пределы функции: x->- y -> - ; x -> y ->  Асимптот нет 5. Точки экстремума, интервалы монотонности Найдем стационарные точки. Для этого найдем первую производную и приравняем ее нулю у'(х)= Зх2-6х=Зх(х-2)=0. Стационарные точки х=0; х=2. Нанесем эти точки на числовую ось (рис.9), проанализируем знаки производной у'=Зх(х-2) вокруг стационарных точек. При переходе через х=0 производная меняет знак с + на -, х=0 – максимум; при переходе через х=2 производная меняет знак с – на + , х=2 – минимум

Содержание слайда: Пример 1 (продолжение). Исследуемая функция у = (x-1)(x2-2x-2) =х3-3x2+2 х=0 – максимум ; y(0) =2 х=2 – минимум ; y(2) = -2. В точке х=-0.5 y(-0.5)=9/8; в точке х=4 y(4)=18. 6. Точки перегиба. Определим вторую производную, приравняем ее нулю. Получаем y’’=(3x2-6x)’ = 6x-6=0. точка перегиба x=1. 7. Найдем точки пересечения с осью х: х1=-0.73; х2 =0; х3=2.73 8. Построим качественный график 9. Область значений ОЗФ = (-, +).

Содержание слайда: Пример 2. Исследуемая функция 1. ООФ – (-,1) (1,+) 2. Точка разрыва хр =1. Интервалы непрерывности (-,1), (1,+). Вертикальная асимптота хр =1 3. Функция общего вида. Не является ни четной, ни нечетной, ни периодической. 4.Определяем пределы: -на границах ООФ. Совместим исследование с поиском наклонной асимптоты y = kx + b. Уравнение наклонной асимптоты y = -x + 5

Содержание слайда: Пример 2 (продолжение). Исследуемая функция Пример 2 (продолжение). Исследуемая функция Пределы в точке разрыва, справа х 1+ , слева х 1- 5. Определяем экстремумы функции. Для этого найдем производную, приравняем ее нулю, посмотрим знаки производной Характеристические точки х1=3; х2= -1. В окрестности точки x= -1 знак производной меняется с минуса на плюс,x2= -1 – точка минимума и y(-1)=8. Нетрудно убедиться, что в точке x1=3 максимум, y(3)=0.

Содержание слайда: Пример 2 (продолжение). Исследуемая функция 6. Определяем точки перегиба. Для этого находим вторую производную, приравниваем ее нулю. Точек перегиба функция не имеет, так как ее вторая производная нуля не имеет На интервале (-,1) вторая производная положительна, и график выпуклый. На интервале (1,+) вторая производная отрицательная и график — вогнутый.

Содержание слайда: Пример 2 (продолжение). Исследуемая функция 7. Точки пересечения функции с осями координат: (3,0) и (0,9) 8. График функции 9. Область значений (ОЗФ): (-,0] [8,+)

Содержание слайда: Пример 3. Исследуемая функция Пример 3. Исследуемая функция 1. ООФ – вся числовая ось, ООФ=(-, +). 2. Точек разрыва нет; вертикальной асимптоты нет; интервал непрерывности (-, +). 3. Функция общего вида. 4. Пределы на границах ООФ определяем, совместив задачу с поиском асимптоты. Очевидно, ось х – горизонтальная асимптота

Содержание слайда: Пример 3 (продолжение). Исследуемая функция Пример 3 (продолжение). Исследуемая функция 5. Найдем экстремум функции и интервалы монотонности. Стационарная точка х=1 является точкой максимума функции, так как при переходе через эту точку (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус.

Содержание слайда: Пример 3 (продолжение). Исследуемая функция Пример 3 (продолжение). Исследуемая функция 6. Вычислим у" и найдем точки перегиба: Вторая производная обращается в нуль при х=0 и при х=2. В обеих этих точках происходит смена знака у", т.е. обе точки будут точками перегиба. Функция в этих точках равна:

Содержание слайда: Пример 3 (продолжение). Исследуемая функция Пример 3 (продолжение). Исследуемая функция 7. Точка пересечения с осью y(х=0):(0, exp(-0.5)) или (0, 0.606). Точек пересечения функции с осью х нет. 8. График функции 9. Область значений (ОЗФ) (0, 1]