Презентация Элементы векторной алгебры (лекция 2) онлайн

Содержание слайда: лекция № 2 для студентов 1 курса, обучающихся по специальности 030401– Клиническая психология к.п.н., доцент Шилина Н.Г. Красноярск, 2015 Тема: Элементы векторной алгебры.

Содержание слайда: План лекции: Понятие вектора. Действия над векторами. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Размерность линейного пространства. Базис линейного пространства Скалярное произведение двух векторов Системы координат.

Содержание слайда: Значение темы Предметом изучения в векторной алгебре являются векторные величины(векторы) и действия с ними. Примерами таких величин могут служить скорость и ускорение движущейся точки, сила. Цифровые данные, используемые в различных областях, также можно представить в виде систем векторов. Понятие вектора позволяет существенно упростить операции с большими структурированными наборами чисел.

Содержание слайда: Вектором называют любую конечную последовательность чисел: а1,a2,...,an. При этом сами числа а1,a2,...,an называют координатами вектора. Вектором называют любую конечную последовательность чисел: а1,a2,...,an. При этом сами числа а1,a2,...,an называют координатами вектора. Координаты вектора получаются вычитанием из координат его конца соответствующих координат начала.

Содержание слайда: Определение вектора

Содержание слайда: Геометрическим вектором (вектором) Называется направленный прямолинейный отрезок, для которого указано, какая из ограничивающих точек считается началом, а какая - концом. Начало вектора называют точкой его приложения.

Содержание слайда: Обозначения

Содержание слайда: Векторы с 1,2 или3 координатами - это направленные отрезки на прямой, плоскости, в пространстве

Содержание слайда: Два вектора (а1,a2,...,an) и (b1,b2,...,bm) называются равными в том и только том случае, если они имеют одинаковое число координат (n= т) и если их соответственные координаты равны между собой: a1=b1; a2= b2, ..., ап=bп. Два вектора (а1,a2,...,an) и (b1,b2,...,bm) называются равными в том и только том случае, если они имеют одинаковое число координат (n= т) и если их соответственные координаты равны между собой: a1=b1; a2= b2, ..., ап=bп. Равенство векторов пишется так: а =b.

Содержание слайда: Для геометрических векторов Два вектора называются равными, если они лежат на параллельных прямых (или одной прямой), одинаково направлены и имеют равные длины

Содержание слайда: Нуль-вектор - вектор у которого начало и конец совпадает, его модуль равен нулю и нет определенного направления. Следовательно можно считать все нуль векторы равными и ввести для них общее обозначение

Содержание слайда: Коллинеарные векторы Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых

Содержание слайда: Компланарные векторы Векторы называются компланарными, если они расположены на прямых, параллельных одной и той же плоскости

Содержание слайда: Сложение векторов

Содержание слайда: Правило параллелограмма

Содержание слайда: Произведением вектора а = (а1,a2,...,an) на число k называют вектор ka, определяемый равенством ka = (kа1,ka2,..., kan). Умножение вектора на число сводится к растяжению при |k| > 1 или сжатию при |k| < 1 исходного вектора с сохранением его направления при k > 0 или с заменой на противоположное при k< 0

Содержание слайда: Умножение вектора на скаляр

Содержание слайда: Cвойства операций: коммутативность: а + b = b + а; ассоциативность: (а + b) + с = а + (b + с), k(lа) = (kl)а; дистрибутивность: (k+ l)а = kа + lа, k(а + b) = ka+ kb. Вектор, все координаты которого равны нулю, называют нулевым вектором (0). Вектор (–1)а называется противоположным вектору а (обозначается –а). а+(–а) = 0.

Содержание слайда: Линейно зависимые и линейно независимые векторы Множество L называют линейным пространством (или векторным пространством), а его элементы – векторами, если: На этом множестве задана операция сложения: каждым двум векторам а и b из L сопоставлен некоторый третий вектор из L, обозначаемый а + b и называемый суммой векторов а и b; Задана операция умножения векторов на числа: каждый паре а, k (вектор а и число k) сопоставлен некоторый вектор, обозначаемый kа и называемый произведением вектора a на число k;

Содержание слайда: 3. Эти операции удовлетворяют следующим требованиям: 3. Эти операции удовлетворяют следующим требованиям: а + b = b + а для любых векторов а и b; (а + b) + с = а + (b + с) для любых трех векторов a, b и с; существует единственный вектор 0 такой, что а + 0 = а для любого вектора а; для любого вектора а существует единственный вектор а' такой, что а + а' = 0; 1·а = а для любого вектора а; k1(k2a) = (k1k2)a для любых чисел k1 и k2 и любого вектора а; (k1 + k2)a = k1a + k2a для любых чисел k1 и k2 и любого вектора а; k (a +b) = ka +kb для любого числа k и любых векторов а и b.

Содержание слайда: Геометрический смысл линейной зависимости векторов Один вектор линейно зависим тогда и только тогда, когда он нулевой. Для того, чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны. Для того чтобы три вектора были линейно зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Любые четыре вектора линейно зависимы.

Содержание слайда: Примеры линейных пространств векторы плоскости (обозначение R2) нашего пространства, в котором мы живем, его называют трехмерным (определяется тремя измерениями: длиной, шириной, высотой) и обозначают R3 Обобщением этих пространств является пространство Rn векторов (а1,a2,..., an), имеющих n координат (n–мерных векторов).

Содержание слайда: Пусть а1,a2,..., ap – множество векторов из пространства L. Возьмем произвольные числа k1 , k2,…, kp и составим вектор а = k1 а1+ k2a2+...+ apkp. Пусть а1,a2,..., ap – множество векторов из пространства L. Возьмем произвольные числа k1 , k2,…, kp и составим вектор а = k1 а1+ k2a2+...+ apkp. Любой вектор а данного вида называется линейной комбинацией векторов а1,a2,..., ap , а числа k1 , k2,…, kp – коэффициентами этой линейной комбинации.

Содержание слайда: Пример а1 = (2,–1,4,0), а2 = (3, –5, –2,2), а3 = (–3, 6, –8,5), то линейная комбинация 3а1 –2а2 – а3 = (6, –3,12,0) –(6, –10, –4,4) – (–3,6, –8,5) = (3,1,24, –9). вектор b является линейной комбинацией векторов а1 и а2, т.к. b = 3а1+ 2a2.

Содержание слайда: Векторы а1,a2,...,ap называются линейно зависимыми (или образующими линейно зависимую систему), если существуют такие числа с1 с2,..., ср, не равные одновременно нулю, что справедливо равенство: Векторы а1,a2,...,ap называются линейно зависимыми (или образующими линейно зависимую систему), если существуют такие числа с1 с2,..., ср, не равные одновременно нулю, что справедливо равенство: с1 а1 + с2 a2+ср ap = 0. Если же это равенство возможно только в случае с1 = с2 = ... = ср = 0, то векторы а1,a2,...,ap называются линейно независимыми (образующими линейно независимую систему).

Содержание слайда: Условия линейной зависимости и независимости векторов Всякая система векторов, содержащая нуль–вектор 0, линейно зависима. Если k (k< р) векторов системы а1,a2,...,ap линейно зависимы, то и вся система линейно зависима. Если из системы линейно независимых векторов а1,a2,...,ap удалить r (r<р) векторов, то оставшиеся векторы образуют также линейно независимую систему. Если среди векторов системы а1,a2,...,ap имеются такие векторы аk и am, что аk = λam, где λ – некоторое число, то вся система векторов а1,a2,...,ap линейно зависима. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

Содержание слайда: Теорема Векторы а1,a2,...,ap линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией всех остальных. Линейное пространство L называется n–мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые n +1 векторов являются линейно зависимыми.

Содержание слайда: Базисом n–мерного линейного пространства L называется любая упорядоченная система n линейно независимых векторов в пространстве Rn Базисом n–мерного линейного пространства L называется любая упорядоченная система n линейно независимых векторов в пространстве Rn Пример такой системы в пространстве Rn : е1=(1,0,…,0), e2=(0,1,…,0), ……………. en=(0,0,…,1).

Содержание слайда: Теорема 1. Если в пространстве L некоторая система n-мерных векторов обладает свойством, что определитель, строками которого являются данные векторы, не равен нулю, то эти векторы образуют базис в L. Теорема 1. Если в пространстве L некоторая система n-мерных векторов обладает свойством, что определитель, строками которого являются данные векторы, не равен нулю, то эти векторы образуют базис в L. Теорема 2. Разложение произвольного вектора а по базису всегда единственно. Числа k1,k2,...,kn – коэффициенты разложения вектора а по некоторому базису – называются координатами вектора а в этом базисе.

Содержание слайда: Пусть даны два линейных пространства L1 и L2. Предположим, что между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию). Пусть даны два линейных пространства L1 и L2. Предположим, что между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию). Если элемент х L1, а у L2, то факт их взаимно однозначного соответствия записывается так: х ↔ у. Предположим также, что если х1↔у1 и х2↔у2 то х1+х2↔у1+ у2 и αх1↔αу1 , где α – любое действительное число. Если выполнены эти условия, то пространства L1 и L2 называются изоморфными.

Содержание слайда: Теорема 3. Два линейных пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность. Теорема 3. Два линейных пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность. Например, изоморфны множество всех векторов трехмерного пространства и множество последовательностей из R3, каждая из которых содержит три числа.

Содержание слайда: Скалярное произведение двух векторов Скалярным произведением двух векторов х = (х1, х2,…, хп) и у=(у1,у2,…,уп) называется число (х,у)= х1 у1+ х2 у2+… хпуп=

Содержание слайда: Скалярное произведение двух векторов

Содержание слайда: Свойства скалярного произведения (х, у) = (у, х) – коммутативность; (х, у + z) = (х, у) + (х, z) – дистрибутивность; (kx, у) = k(х, у), k – любое действительное число; (х, х) > 0, если х – ненулевой вектор; (х, х) = 0, если х –нулевой вектор

Содержание слайда: Линейное пространство L, в котором введена операция скалярного произведения, называется евклидовым пространством. Линейное пространство L, в котором введена операция скалярного произведения, называется евклидовым пространством. Длиной (модулем) вектора х называется число: или

Содержание слайда: Пример Рассчитать модуль вектора а =

Содержание слайда: Свойства модуля вектора |x| = 0 тогда и только тогда, когда x = 0; |kх| =|k|·|х|. k – любое действительное число; |(x, у)| ≤ |х|·|у| (неравенство Коши – Буняковского); |x + у| ≤ |х| + |у| (неравенство треугольника).

Содержание слайда: Пусть х и у – два ненулевых вектора. Углом между ними называют число φ, определенное с помощью равенства Пусть х и у – два ненулевых вектора. Углом между ними называют число φ, определенное с помощью равенства

Содержание слайда: Векторы х и у называются перпендикулярными или ортогональными друг другу, если их скалярное произведение равно нулю. Нулевой вектор ортогонален любому другому. Векторы х и у называются перпендикулярными или ортогональными друг другу, если их скалярное произведение равно нулю. Нулевой вектор ортогонален любому другому. Систему векторов а1,a2,...,ap в евклидовом пространстве L называют ортогональной, если любые два различных вектора этой системы ортогональны друг другу.

Содержание слайда: Ортогональность векторов

Содержание слайда: Вектор е называют нормированным или единичным, если его модуль равен 1. Вектор е называют нормированным или единичным, если его модуль равен 1. Систему векторов e1, е2,…,ер называют ортонормированной, если любые два вектора этой системы ортогональны друг другу и если модуль каждого из них равен 1. В n–мерном евклидовом пространстве система n ортонормированных векторов образует ортонормированный базис.

Содержание слайда: Тест Умножение вектора на число при |k| >1 сводится к растяжению исходного вектора сжатию исходного вектора

Содержание слайда: РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Обязательная: Кричевец, А.Н. Математика для психологов /А.Н. Кричевец, Е.В. Шикин, А.Г. Дьячков. – М.: Флинта: НОУ ВПО «МПСИ», 2010.– 376 с. Наследов А.Д. Математические методы психологического исследования. Анализ и интерпретация данных/А.Д. Наследов.-СПб.: Речь, 2008. Дополнительная: Математика в примерах и задачах: учебное пособие /Л.Н.Журбенко, Г.А. Никонова, Н.В.Никонова и др. – М.: ИНФРА–М, 2011. –373 с. Болдин К.В., Башлыков В.Н., Рукосуев А.В. Высшая математика /К.В. Болдин К, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев. – М.: Флинта, 2010 Электронные ресурсы: УБИЦ КрасГМУ Портал центра дистанционного образования Электронная библиотека Ресурсы интернет

Содержание слайда: БЛАГОДАРЮ ЗА ВНИМАНИЕ