Презентация Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей 52. Сочетания и размещения. Часть I онлайн

Содержание слайда: Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей §52. Сочетания и размещения. Часть I

Содержание слайда: Содержание Введение Пример 1. Учительница подготовила к контрольной работе… Решения: 1.а) 1.б) 1.в) 1.г) Пример 2. Известно, что х = 2аЗb5с и а, Ь, с — числа из множества {0,1,2, 3}. Решения: 2.а) 2.б) 2.в) 2.г) Актуализация опорных знаний: Определение 1. n! Теорема 1 о числе перестановок Pn =n! Пример 3. К хозяину дома пришли гости А, Б, С, D. За круглым столом — пять разных стульев. Решения: 3.а) 3.б) 3.в) 3. г)

Содержание слайда: Введение

Содержание слайда: Пример 1

Содержание слайда: Пример 1.а)

Содержание слайда: Пример 1.б)

Содержание слайда: Пример 1.в)

Содержание слайда: Пример 1.г)

Содержание слайда: Пример 1.г)

Содержание слайда: Пример 2 Известно, что х = 2аЗb5с и а, Ь, с — числа из множества {0,1,2, 3}. а)Найти наименьшее и наибольшее значения числа х. б)Сколько всего таких чисел можно составить? в)Сколько среди них будет четных чисел? г)Сколько среди них будет чисел, оканчивающихся нулем?

Содержание слайда: Пример 2.а)

Содержание слайда: Пример 2.б)

Содержание слайда: Пример 2.в)

Содержание слайда: Пример 2.г)

Содержание слайда: Актуализация опорных знаний В курсе алгебры 9 класса вы познакомились с понятием факториала и теоремой о перестановках. Напомним их. Определение 1. Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел n! и называют «эн факториал»: n!=123…(n-2)(n-1)n

Содержание слайда: Актуализация опорных знаний Теорема 1. n различных элементов можно расставить по одному на n различных место ровно n! способами. Как правило, эту теорему записывают в виде краткой формулы: Pn=n! Pn-это число перестановок из n различных из n различных элементов, оно равно n!.

Содержание слайда: Пример 3

Содержание слайда: Пример 3.а)

Содержание слайда: Пример 3.б)

Содержание слайда: Пример 3.в)

Содержание слайда: Пример 3.г)

Содержание слайда: Пример 4.

Содержание слайда: РЕШЕНИЕ: I способ Рассмотрим таблицу 77, в которую вписаны результаты игр. В ней 49 клеток. По диагонали клетки закрашены, так как никакая команда не играет сама с собой. Если убрать диагональные клетки, то останется 72-7=42 клетки. В нижней части результатов нет, потому что все они получаются отражением уже имеющихся результатов из верхней части таблицы. Поэтому количество всех проведенных игр равно половине от 42, т.е. 21.

Содержание слайда: РЕШЕНИЕ: II способ Произвольно пронумеруем команды №1, №2, …, №7 и посчитаем число игр поочередно. Команда №1 встречается с командами №2-7 – это 6 игр, №2 – с №3-7 – это 5 игр и т.д. Всего 6+5+4+3+2+1=21 игр.

Содержание слайда: РЕШЕНИЕ: III способ Используем геометрическую модель: 7 команд – это вершины выпуклого 7-угольника, а отрезок между двумя вершинами – это встреча двух соответствующих команд: сколько отрезков – столько игр. Из каждой вершины выходит 6 отрезков – столько игр. Получается 76=42 отрезков, каждый из которых посчитан дважды: и как АВ, и как ВА. Значит, 42/2=21 отрезок. ОТВЕТ: 21

Содержание слайда: Анализ примера 4 Состав игры определен, как только мы выбираем две команды. Значит, количество всех игр в турнире для n команд – это в точности количество всех выборов двух элементов из n данных элементов. Важно при этом то, что порядок выбора не имеет значения, т.е. если выбрано две команды, то какая из них первая, а какая вторая – не существенно. Первую команду можно выбрать n способами, а вторую – (n-1) способами. По правилу умножения получаем n(n-1). Но при этом состав каждой игры посчитан дважды. Значит, число игр равно n(n-1)/2. Тем самым фактически доказана следующая теорема. Теорема 2 (о выборе двух элементов). Если множество состоит из n элементов и требуется выбрать два элемента без учета их порядка, то такой выбор можно произвести n(n-1)/2 способами.

Содержание слайда: Определение 2 Достаточно длинный словесный оборот «число всех выборов двух элементов без учета их порядка из n данных» неудобен при постоянном использовании в решении задач. Математики поступили просто: ввели новый термин и специальное обозначение. Определение 2. число всех выборов двух элементов без учета их порядка из n данных элементов называют числом сочетаний из n элементов по 2 и обозначают (цэ из эн по два).

Содержание слайда: Пример 5.

Содержание слайда: РЕШЕНИЕ: а) б) в) Будем действовать по правилу умножения. Одно испытание – выбор футболиста, а другое испытание – выбор хоккеиста. Испытания предполагаются независимыми, и у них соответственно 11 и 6 исходов. Значит получится 116=66 игр. г) Можно сложить все предыдущие ответы: 55+15+66=136; но можно использовать и формулу для числа сочетаний:

Содержание слайда: Теорема 3 и определение 3 А что получится, если мы будем учитывать порядок двух выбираемых элементов? По правилу умножения получаем следующую теорему. Теорема 3. Если множество состоит из n элементов и требуется выбрать из них два элемента, учитывая их порядок, то такой выбор можно произвести n(n-1) способами. Доказательство: Первый по порядку элемент можно выбрать n способами. Из оставшихся (n-1) элементов второй по порядку элемент можно выбрать (n-1) способом. Так как два этих испытания (выбора) независимы друг от друга, то по правилу умножения получаем n(n-1). Определение 3. Число всех выборов двух элементов с учетом их порядка из n данных называют числом размещений из n элементов по 2 и обозначают

Содержание слайда: Пример 6

Содержание слайда:

Содержание слайда: Итоги выборов двух элементов А как будут выглядеть формулы, если в них верхний индекс 2 заменить на 3, 4, … и вообще на произвольное число k, 1≤k ≤n? Здесь мы переходим к основному вопросу параграфа – к выборам, состоящим из произвольного числа элементов.

Содержание слайда: Источники Алгебра и начала анализа, 10-11 классы, Часть 1. Учебник, 10-е изд. (Базовый уровень), А.Г.Мордкович, М., 2009 Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. (Базовый уровень) Методическое пособие для учителя, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010 Таблицы составлены в MS Word и MS Excel. Интернет-ресурсы