Презентация Классификация функций. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. (Лекция 3) онлайн
На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему Классификация функций. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. (Лекция 3) абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 22 слайда. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Презентации » Математика » Классификация функций. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. (Лекция 3)
Оцените!
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
- Тип файла:ppt / pptx (powerpoint)
- Всего слайдов:22 слайда
- Для класса:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Размер файла:446.50 kB
- Просмотров:97
- Скачиваний:0
- Автор:неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
![Лекция . Общие понятия и](/documents_6/d6cbe2d9cd911d9c1c52914f4e53800f/img0.jpg)
Содержание слайда: Лекция 3. Общие понятия и определения. Классификация функций. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Основные теоремы о бесконечно малых функциях.
Лекция 3. Общие понятия и определения. Классификация функций. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Основные теоремы о бесконечно малых функциях.
Функция
При решении различных задач обычно приходится иметь дело с постоянными и переменными величинами.
Определение
Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и тоже значение или вообще или в данном процессе: в последнем случае она называется параметром.
Переменной величиной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.
Понятие функции
При изучении различных явлений обычно имеем дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой так, что значения одних величин (независимые переменные) полностью определяют значения других (зависимые переменные и функции).
Определение
Переменная величина y называется функцией (однозначной) от переменной величины x, если они связаны между собой так, что каждому рассматриваемому значению x соответствует единственное вполне определенное значение величины y (сформулировал Н.И.Лобачевский).
Обозначение y=f(x) (1)
x – независимая переменная или аргумент;
y – зависимая переменная (функция);
f – характеристика функции.
№2 слайд
![Совокупность всех значений](/documents_6/d6cbe2d9cd911d9c1c52914f4e53800f/img1.jpg)
Содержание слайда: Совокупность всех значений независимой переменной, для которых функция определена, называется областью определения или областью существования этой функции. Областью определения функции может быть: отрезок, полуинтервал, интервал, вся числовая ось.
Совокупность всех значений независимой переменной, для которых функция определена, называется областью определения или областью существования этой функции. Областью определения функции может быть: отрезок, полуинтервал, интервал, вся числовая ось.
Примеры:
1. Формула площади круга
Каждому значению радиуса соответствует значение площади круга. Площадь – функция от радиуса, определенная в бесконечном интервале
2. Функция (2). Функция определена при
Для наглядного представления поведения функции строят график функции.
Определение
Графиком функции y=f(x) называется множество точек M(x,y) плоскости OXY, координаты которых связаны данной функциональной зависимостью. Или график функции – это линия, уравнением которой служит равенство, определяющее функцию.
Например, график функции (2) – полуокружность радиуса 2 с центром в начале координат.
№3 слайд
![Простейшие функциональные](/documents_6/d6cbe2d9cd911d9c1c52914f4e53800f/img2.jpg)
Содержание слайда: Простейшие функциональные зависимости
Простейшие функциональные зависимости
Рассмотрим несколько простейших функциональных зависимостей
1. Прямая функциональная зависимость
Определение
Две переменные величины называются прямо пропорциональными, если при изменении одной из них в некотором отношении, другая изменяется в том же соотношении.
y=kx, где k – коэффициент пропорциональности.
График функции
№6 слайд
![. Квадратичная зависимость .](/documents_6/d6cbe2d9cd911d9c1c52914f4e53800f/img5.jpg)
Содержание слайда: 4. Квадратичная зависимость
4. Квадратичная зависимость
Квадратичная зависимость в простейшем случае имеет вид , где k – некоторая постоянная величина. График функции – парабола.
5. Синусоидальная зависимость.
При изучении периодических явлений важную роль играет синусоидальная зависимость
- функция называется гармоникой.
A – амплитуда;
- частота;
- начальная фаза.
№7 слайд
![Функция периодическая с](/documents_6/d6cbe2d9cd911d9c1c52914f4e53800f/img6.jpg)
Содержание слайда: Функция периодическая с периодом . Значения функции в точках x и x+T,
отличающихся на период, одинаковы.
Функцию можно привести к виду , где . Отсюда
получаем, что графиком гармоники является деформированная синусоида с амплитудой A периодом T, сдвинутая по оси ОХ на величину
№8 слайд
![Способы задания функции](/documents_6/d6cbe2d9cd911d9c1c52914f4e53800f/img7.jpg)
Содержание слайда: Способы задания функции
Способы задания функции
Обычно рассматривают три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.
1. Аналитический способ задания функции
Если функция выражена при помощи формулы, то она задана аналитически.
Например
Если функция y=f(x) задана формулой, то ее характеристика f обозначает ту совокупность действий, которую нужно в определенном порядке произвести над значением аргумента x, чтобы получить соответствующее значение функции.
Пример . Выполняется три действия над значением аргумента.
2. Табличный способ задания функции
Этот способ устанавливает соответствие между переменными с помощью таблицы. Зная аналитическое выражение функции, можно представить эту функцию для интересующих нас значений аргумента при помощи таблицы.
Можно ли от табличного задания функции перейти к аналитическому выражению?
Заметим, что таблица дает не все значения функции, причем промежуточные значения функции могут быть найдены лишь приближенно. Это, так называемое интерполирование функции. Поэтому, в общем случае найти точное аналитическое выражение функции по табличным данным нельзя. Однако всегда можно построить формулу, и при том не одну, которая для значений аргумента, имеющихся в таблице, будет давать соответствующие табличные значения функции. Такого рода формула называется интерполяционной.
3. Графический способ задания функции
Аналитический и табличный способы не дают наглядного представления о функции.
№9 слайд
![Этого недостатка лишен](/documents_6/d6cbe2d9cd911d9c1c52914f4e53800f/img8.jpg)
Содержание слайда: Этого недостатка лишен графический способ задания функции y=f(x), когда соответствие между аргументом x и функцией y устанавливается с помощью графика.
Этого недостатка лишен графический способ задания функции y=f(x), когда соответствие между аргументом x и функцией y устанавливается с помощью графика.
Понятие неявной функции
Функция называется явной, если она задана формулой, правая часть которой не содержит зависимой переменной.
Функция y от аргумента x называется неявной, если она задана уравнением
F(x,y)=0 (1) неразрешенным относительно зависимой переменной.
Пример.
Понятие обратной функции
Пусть задана функция y=f(x) (1). Задавая значения аргумента х, получаем значения функции y.
Можно, считая y аргументом, а х – функцией, задавать значения y и получать значения x. В таком случае уравнение (1) будет определять x, как неявную функцию от y. Эта последняя функция называется обратной по отношению к данной функции y.
Предполагая, что уравнение (1) разрешено относительно x, получаем явное выражение обратной функции
(2), где функция для всех допустимых значений y удовлетворяет условию
Пример
Замечание
Обратная функция однозначной функции может быть многозначной, то есть данному значению y может соответствовать несколько значений обратной функции .
Например, тригонометрические функции и обратные тригонометрические функции. Или - двузначная.
№10 слайд
![Классификация функций одного](/documents_6/d6cbe2d9cd911d9c1c52914f4e53800f/img9.jpg)
Содержание слайда: Классификация функций одного аргумента
Классификация функций одного аргумента
Принята следующая классификация:
1. Целая рациональная функция или многочлен
Над аргументом выполняются действия: сложение, вычитание, умножение, возведение в целую положительную степень.
2. Дробно-рациональная функция
1) и 2) – класс рациональных функций.
3. Иррациональная функция
Над аргументом х помимо вышеперечисленных операций производится операция извлечения корня конечное число паз и при этом результат не является рациональной функцией.
Пример
Совокупность рациональных и иррациональных функций образует класс явных алгебраических функций
4. Многозначная неявная функция
Это - более общий случай алгебраических функций
, где n – целое положительное число
- целые рациональные функции от х.
Пример
№11 слайд
![. Трансцендентные функции .](/documents_6/d6cbe2d9cd911d9c1c52914f4e53800f/img10.jpg)
Содержание слайда: 5. Трансцендентные функции
5. Трансцендентные функции
Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной.
Элементарные трансцендентные функции:
а) показательная ;
b) логарифмическая функция ;
c) тригонометрические функции sinx, cosx, tgx, ctgx;
d) обратные тригонометрические функции arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.
Предел функции
В математическом анализе, как правило, рассматриваются безразмерные величины, то есть величины, лишенные физического содержания. Совокупность значений таких величин представляют собой некоторые числовые множества.
Формализуем определение функции.
Определение 1
Пусть X и Y – данные числовые множества. Если в силу некоторого соответствия f, сопоставляющего элементам множества X элементы множества Y, (единственный), то y называется функцией от х, определенной на множестве Y.
Обозначение y=f(x) (1)
Множество значений функции (1), по смыслу определения, содержится в Y, то есть
. Можно сказать, что функция f отображает множество X в множество Y.
Графическая интерпретация.
№12 слайд
![Пример f x sinx отображает](/documents_6/d6cbe2d9cd911d9c1c52914f4e53800f/img11.jpg)
Содержание слайда: Пример f(x)=sinx отображает интервал на отрезок [-1,1].
Пример f(x)=sinx отображает интервал на отрезок [-1,1].
Пусть между элементами множеств X и Y функция y=f(x) устанавливает взаимнооднозначное соответствие, то есть существует один и только один его образ и обратно, найдется единственный прообраз такой, что f(x)=y. Тогда функция , устанавливающая соответствие между элементами множеств Y и X называется обратной для функции y=f(x). Иными словами обратная функция является отображением множества Y на множество X.
y=f(x) и - взаимно обратные.
Определение 2
Под окрестностью точки а (а – действительное число) будем понимать любой интервал , окружающий эту точку , из которого удалена точка а.
№13 слайд
![Пусть функция f x задана на](/documents_6/d6cbe2d9cd911d9c1c52914f4e53800f/img12.jpg)
Содержание слайда: Пусть функция f(x) задана на множестве X. Точка а называется предельной точкой (точкой накопления) этого множества, если в любой ее - окрестности содержится бесконечно много элементов , то есть .
Пусть функция f(x) задана на множестве X. Точка а называется предельной точкой (точкой накопления) этого множества, если в любой ее - окрестности содержится бесконечно много элементов , то есть .
№14 слайд
![Определение Определение Число](/documents_6/d6cbe2d9cd911d9c1c52914f4e53800f/img13.jpg)
Содержание слайда: Определение 3
Определение 3
Число А называется пределом функции f(x) при , то есть , если
- окрестность , что |f(x)-A|< при
(2)
Неравенство (2) должно выполняться для всех тех х, для которых определена функция f(x), то есть для ; согласно определению предельной точки в каждой окрестности множество таких точек не пусто.
Замечание 1
По смыслу определения предела функции, числа можно полагать достаточно малыми.
Определение 4
Утверждение (3) эквивалентно следующему |f(x)-A|< при
.
Множество всех точек х, для которых , очевидно, является симметричной окрестностью символа ; при этом предполагается, что для любой точки окрестности , условно можно сказать, что - есть предел множества Х – области определения функции f(x).
Объединяя определения 3 и 4 получим общее определение предела функции при , которое справедливо как для конечного значения а, так и для .
Общее определение предела функции
Пусть f(x) – функция, определенная на множестве X, и а – предельная точка этого множества. Число А является пределом функции f(x) при тогда и только тогда, когда - окрестность , что |f(x)-A|< при (4).
Короткая запись (5) или при (5’).
Теорема 1
Если функция f(x)=c постоянна в некоторой окрестности точки а, то , причем с является единственным пределом этой функции при .
№15 слайд
![Определение Определение](/documents_6/d6cbe2d9cd911d9c1c52914f4e53800f/img14.jpg)
Содержание слайда: Определение 5
Определение 5
Функция f(x) называется ограниченной на данном множестве Х, если существует такое положительное число М, что при (6). Если такого числа М нет, то функция f(x) называется неограниченной.
Лемма
Функция f(x), имеющая предел А при , ограничена в некоторой окрестности точки а.
Доказательство
Пусть при , где - соответствующая окрестность точки а. Отсюда для всех допустимых значений аргумента х получаем
, если только .
Отметим еще одну теорему, устанавливающую связь между границами функции и ее пределом.
Теорема 2
Пусть существует и M<f(x)<N (7) в некоторой окрестности точки
а. Тогда (8)
Доказательство
Пусть A<M. Полагая , в некоторой окрестности будем иметь
|f(x)-A|<M-A, то есть –(M-A)<f(x)<M-A. Отсюда, выбирая , получаем, что f(x)<M, что противоречит левому неравенству (7). Аналогично опровергается предположение A>N. Таким образом, неравенство (8) доказано.
Следствие
Положительная функция не может иметь отрицательного предела.
Односторонние пределы функции
В приложениях математического анализа встречаются так называемые односторонние пределы.
№16 слайд
![Введем понятия левой и правой](/documents_6/d6cbe2d9cd911d9c1c52914f4e53800f/img15.jpg)
Содержание слайда: Введем понятия левой и правой окрестностей точки а (а – число).
Введем понятия левой и правой окрестностей точки а (а – число).
Определение 1
1) любой интервал , правым концом которого является точка а, называется ее левой окрестностью.
2) любой интервал , левым концом которого является точка а, называется ее правой окрестностью.
Запись означает, что х принимает лишь значения, принадлежащие некоторой левой окрестности точки а, то есть
Запись означает, что х принимает лишь значения, принадлежащие некоторой правой окрестности точки а, то есть
Определение 2
1) Формула , где функция f(x) определена на множестве Х и а – предельная точка этого множества, а А – число, обозначает, что , такая, что |f(x)-A|< при (1)
2) Формула , где функция f(x) определена на множестве Х и а – предельная точка этого множества, а B – число, обозначает, что , такая, что |f(x)-B|< при (2)
Для чисел A и B используется следующая символическая запись A=f(a-0), B=f(a+0)
№18 слайд
![Бесконечно малые функции](/documents_6/d6cbe2d9cd911d9c1c52914f4e53800f/img17.jpg)
Содержание слайда: Бесконечно малые функции
Бесконечно малые функции
Определение
Функция называется бесконечно малой при (а – вещественное число или символ ), если , что .
Это эквивалентно (2) или (3).
Аналогично определяется бесконечно малая функция при , ,
, .
Замечание
Если (4), то в силу определения предела функции получаем, что f(x)-A – бесконечно малая функция. Таким образом, из (4) получаем представление функции f(x), имеющей предел А при в виде
(5), где .
Обратно, если для функции f(x) справедлива формула (5), то число А является пределом функции при . Из формулы (5) вытекает важная лемма о сохранении знака функции.
Лемма
Если , то в некоторой окрестности знак функции f(x) совпадает со знаком числа А.
Действительно, пусть . Выбирая окрестность так, чтобы при в силу равенства (5) будем иметь
, где
Sgn x=+1, при x>0
Sgn 0=0
Sgn x=-1, при x<0
Замечание Функция в некоторой окрестности по смыслу определения (1) является бесконечно малой при .
№19 слайд
![Бесконечно большие функции](/documents_6/d6cbe2d9cd911d9c1c52914f4e53800f/img18.jpg)
Содержание слайда: Бесконечно большие функции
Бесконечно большие функции
Определение
Функция f(x) называется бесконечно большой при (а – число или символ
при (1), если для точки a, что |f(x)|>E при (2) для всех допустимых значений аргумента х.
Если функция f(x) - бесконечно большая при , то условно пишут
(3)
Пример при
Записи и соответственно означают
при и при
Лемма
1. Если при , то при
2. Если при , то при
Основные теоремы о бесконечно малых функциях
Теорема 1
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций при есть функция бесконечно малая при .
Доказательство
Для простоты ограничимся тремя функциями при
.
Рассмотрим их алгебраическую сумму .
№20 слайд
![Пусть . В силу определения](/documents_6/d6cbe2d9cd911d9c1c52914f4e53800f/img19.jpg)
Содержание слайда: Пусть . В силу определения бесконечно малой функции существуют
три, характеризуемые окрестности , такие что
при (1) при (2) при (3)
представляет окрестность точки а, в которой одновременно будут выполнены неравенства (1),(2),(3). Таким образом,
если Теорема доказана.
В частности разность двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.
Определение
Функция f(x) ограничена при , если она ограничена в некоторой окрестности
.
Теорема 2
Произведение ограниченной при функции на бесконечно малую при функцию, есть функция бесконечно малая функция при .
Доказательство
Пусть при , где - некоторая окрестность точки а и при . Тогда , что при Отсюда имеем , если Таким образом, при .
№21 слайд
![Доказательство Доказательство](/documents_6/d6cbe2d9cd911d9c1c52914f4e53800f/img20.jpg)
Содержание слайда: Доказательство
Доказательство
Пусть при , где - некоторая окрестность точки а и при
. Тогда , что при Отсюда имеем
, если Таким образом,
при .
Теорема 3
Произведение конечного числа бесконечно малых функций при есть функция бесконечно малая при .
Доказательство
Рассмотрим сначала две функции при . Полагая
и рассуждая также как в теореме 1, можно сказать, что , что и
при Отсюда , если Следовательно, при .
Если имеем три функции при , то, используя первую часть доказательства, имеем
при .
Следствие
Целая положительная степень бесконечно малой функции при
есть бесконечно малая функция.
Замечание
Отношение двух бесконечно малых функций при может быть функцией произвольного поведения.
№22 слайд
![Пример Пример С помощью](/documents_6/d6cbe2d9cd911d9c1c52914f4e53800f/img21.jpg)
Содержание слайда: Пример
Пример
С помощью действия деления можно сравнивать между собой бесконечно малые.
Определение 1
Две бесконечно малые функции при имеют одинаковый порядок при , если их отношение имеет конечный предел, отличный от нуля, то есть
Определение 2
При порядок бесконечно малой функции выше порядка бесконечно малой функции , если отношение есть бесконечно малая функция при
, то есть . В этом случае пишут при .
Определение 3
При бесконечно малая функция имеет порядок n (n – натуральное число) относительно бесконечно малой функции при , если
Скачать все slide презентации Классификация функций. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. (Лекция 3) одним архивом:
Похожие презентации
-
Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Теоремы о бесконечно малых функциях. (Семинар 4)
-
Числовые последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. (Лекция 1)
-
Вычисление пределов функции. Предел функции на бесконечности. Два замечательных предела. Вычисление числа «е»
-
Предел функции в бесконечности
-
Понятие предела функции. Бесконечно малая и бесконечно большая функции
-
Понятие предела числовой последовательности. Предел функции в точке и на бесконечности. Теоремы о пределах функции
-
Предел функции на бесконечности. (10 класс)
-
ГЛАВА II ТЕОРИЯ БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ ГЛАВА II ТЕОРИЯ БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ 1. Счетные множества. Примеры. Минимальность счетной мощности Определение 1. Множества А и В называются равномощными (обозначим: ), если существует биекция : А В.
-
Предел Бесконечно маленькая величина
-
Функции нескольких переменных, область определения. Частные производные. Полный дифференциал. Лекция 1-2