Презентация Линейные уравнения 1-го порядка. Уравнения Бернулли онлайн
На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему Линейные уравнения 1-го порядка. Уравнения Бернулли абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 8 слайдов. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
- Тип файла:ppt / pptx (powerpoint)
- Всего слайдов:8 слайдов
- Для класса:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Размер файла:254.50 kB
- Просмотров:94
- Скачиваний:1
- Автор:неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
Содержание слайда: Лектор Пахомова Е.Г.
№2 слайд
Содержание слайда: §7. Линейные уравнения первого порядка
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется ДУ 1-го порядка, линейное относительно неизвестной функции y и ее производной y .
В общем случае линейное уравнение 1-го порядка можно записать в виде y + p(x) y = f(x) , (8)
где p(x) , f(x) – заданные непрерывные функции.
Если f(x) ≡ 0 , то линейное уравнение называется однородным.
В противном случае уравнение называется неоднородным.
Линейное однородное уравнение
y + p(x) y = 0
является уравнением с разделяющимися переменными.
Его общее решение:
(9)
№3 слайд
Содержание слайда: Рассмотрим линейное неоднородное уравнение (8):
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение (8):
y + p(x) y = f(x) . (8)
Существуют два метода его интегрирования.
I) Метод вариации постоянной (метод Лагранжа)
1) Интегрируем однородное уравнение y + p(x) y = 0, соот-
ветствующее данному неоднородному уравнению.
Его общее решение имеет вид (9):
2) Полагаем, что решение неоднородного уравнения по
структуре совпадает с решением соответствующего линей-
ного однородного уравнения.
Оно имеет вид
Функцию C(x) найдем, подставив y и y в исходное неод-
нородное уравнение (8).
№4 слайд
Содержание слайда: Получим:
Получим:
Таким образом, общее решение линейного неоднородного уравнения (8) имеет вид:
(10)
Замечания.
1) Раскроем скобки в (10):
(11)
Заметим, что первое слагаемое в (11) – общее решение линейного однородного уравнения, а второе – частное решение линейного неоднородного уравнения (получается из общего решения при C = 0).
№5 слайд
Содержание слайда: 2) Так как ex 0, то любую функцию y(x) можно записать в виде
2) Так как ex 0, то любую функцию y(x) можно записать в виде
Это является основанием метода вариации постоянной.
II) Метод Бернулли.
Будем искать решение (8) в следующем виде:
y = u(x) v(x) .
Тогда y = u v + u v .
Подставим y и y в уравнение (8) и получим:
u v + u v + puv = f(x)
или u v + u [ v + pv ] = f(x) .
Полагаем, что функция v(x) такова, что
[ v + pv ] = 0 .
Тогда u v = f(x) .
№6 слайд
Содержание слайда: Условия (12) позволяют однозначно определить v(x) и u(x) .
Условия (12) позволяют однозначно определить v(x) и u(x) .
При этом получим
Замечание. Линейное неоднордное уравнение вида
y + p(x) y = b
проще интегрировать как уравнение с разделяющимися переменными
№7 слайд
Содержание слайда: §8. Уравнения Бернулли
Уравнением Бернулли называется уравнение вида
y + p(x) y = f(x) y n , (13)
где p(x) , f(x) – заданные непрерывные функции,
n 0 , n 1 (иначе это будет линейное уравнение).
Уравнение Бернулли можно привести к линейному уравнению.
Для этого надо
1) обе части уравнения (13) разделить на y n ,
2) сделать замену z = y 1 – n .
Замечания.
1) Уравнение Бернулли при n > 0 имеет решение y = 0 . Оно будет частным решением при n > 1 (обычно входит в общее при C = ) и особым при 0 < n < 1 .
№8 слайд
Содержание слайда: 2) Решив получившееся после замены линейное уравнение методом Бернулли, получим:
2) Решив получившееся после замены линейное уравнение методом Бернулли, получим:
z = u(x) v(x) ,
Таким образом, решение уравнения Бернулли можно сразу искать в виде произведения двух функций методом Бернулли, не приводя предварительно к линейному уравнению.
Скачать все slide презентации Линейные уравнения 1-го порядка. Уравнения Бернулли одним архивом:
