Презентация Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка (однородные с постоянными коэффициентами, уравнения Эйлера) онлайн

Содержание слайда: Лектор Дьяконова Н.В.

Содержание слайда: 3. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами Пусть линейное однородное уравнение имеет вид y(n) + a1  y(n – 1) + … + an – 1  y  +  an  y = 0 , (10) где a1 , a2 , … , an – некоторые действительные числа. Уравнение (10) называется линейным однородным уравнением n–го порядка с постоянными коэффициентами. Решения уравнения (10) будем искать в виде y = e x , где  – некоторая постоянная. Имеем: y  =   e x , y  = 2  e x , y  = 3  e x , … , y(n) = n  e x . Подставляем y , y  , y  ,  … , y(n) в уравнение (10) и получаем: n  e x + a1  n – 1  e x + … + an – 1    e x +  an  e x = 0 ,  n  + a1  n – 1  + … + an – 1    +  an  = 0 . (11)

Содержание слайда: Уравнение (11) называется характеристическим уравнением (для) уравнения (10). Уравнение (11) называется характеристическим уравнением (для) уравнения (10). Многочлен в левой части (11) называется характеристичес- ким многочленом, Корни уравнения (11) называются характеристическими корнями уравнения (10). Замечания. 1) Формально характеристическое уравнение (11) получается из (10) заменой производных искомой функции на соответ- ствующие степени , а самой функции – на 0 = 1 . 2) Уравнение (10) – алгебраическое уравнение n-й степени.  оно имеет n корней, но 1) каждый корень считается столько раз, какова его кратность; 2) корни могут быть комплексными (причем, комплексные корни попарно сопряжены). Следовательно, функции вида e x в общем случае не дадут всю ф.с.р. уравнения (10).

Содержание слайда: ТЕОРЕМА 6. ТЕОРЕМА 6. Пусть  – характеристический корень уравнения (10). Тогда 1) если ℝ и  – простой корень уравнения (11), то решением уравнения (10) является функция e x; 2) если ℝ и  – корень кратности k уравнения (11) , то решениями уравнения (10) являются функции e x, x  e x, x2  e x,  …,  xk – 1  e x; 3) если  =  + iℂ и  – простой корень уравнения (11), то ̄ =  – i тоже является простым корнем уравнения (11), а решениями уравнения (10) являются функции e x  cosx , e x  sinx ; 4) если  =  + iℂ и  – корень кратности k уравнения (11), то ̄ =  – i тоже является корнем кратности k уравнения (11), а решениями (10) являются функции e x  cosx, xe x  cosx, x2e x  cosx, …, xk – 1e x  cosx  e x  sinx, xe x  sinx, x2e x  sinx, …, xk – 1e x  sinx . Решения, относящиеся к различным характеристическим корням, линейно независимы и найденные таким образом n решений уравнения (10) будут образовывать его ф.с.р.

Содержание слайда: ПРИМЕР 1. Найти общее решение уравнения ПРИМЕР 1. Найти общее решение уравнения ПРИМЕР 2. Найти общее решение уравнения ПРИМЕР 3. Найти общее решение уравнения

Содержание слайда: 4. Уравнения Эйлера Линейное однородное уравнение вида xn  y(n) + a1xn – 1  y(n – 1) + … + an – 1x  y  +  an  y = 0 , (12) (где aiℝ) называется уравнением Эйлера. Уравнение Эйлера сводится к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами заменой x = et .  фундаментальная система решений уравнения (12) состоит из функций вида x   ↔   e t  ; lnℓx  x   ↔   t ℓ  e t  ; x  cos(ln x) ,  x  sin(ln x)   ↔   e t  cost , e t  sint   ; lnℓx  xcos(ln x),  lnℓx  xsin(ln x)   ↔   tℓ e tcost, tℓ e tsint .

Содержание слайда: Замечание. На практике, при интегрировании уравнения Эйлера, можно сразу записать его характеристическое уравнении. Замечание. На практике, при интегрировании уравнения Эйлера, можно сразу записать его характеристическое уравнении. Действительно, характеристическое уравнение – это условие для , при котором e t  является решением ЛОДУ. Но et = x . Следовательно, то же самое условие для  полу- чится, если потребовать, чтобы функция y = x  являлась решением уравнения (12). ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения

Содержание слайда: 5. ЛОДУ 2-го порядка, с произвольными коэффициентами Рассмотрим уравнение y  + a1(x)  y  +  a2(x)  y = 0 . (13) Пусть y1(x) любое ненулевое решение уравнения (13). Тогда его общее решение имеет вид ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения , если известно, что его решением является функция