Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
Тип файла:
ppt / pptx (powerpoint)
Всего слайдов:
8 слайдов
Для класса:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
Размер файла:
249.50 kB
Просмотров:
84
Скачиваний:
0
Автор:
неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд![Лектор Дьяконова Н.В.](/documents_6/a7cc08123711103cdacb572c7c46684a/img0.jpg)
Содержание слайда: Лектор Дьяконова Н.В.
№2 слайд![. Линейные однородные](/documents_6/a7cc08123711103cdacb572c7c46684a/img1.jpg)
Содержание слайда: 3. Линейные однородные уравнения
с постоянными коэффициентами
Пусть линейное однородное уравнение имеет вид
y(n) + a1 y(n – 1) + … + an – 1 y + an y = 0 , (10)
где a1 , a2 , … , an – некоторые действительные числа.
Уравнение (10) называется линейным однородным уравнением n–го порядка с постоянными коэффициентами.
Решения уравнения (10) будем искать в виде y = e x , где – некоторая постоянная.
Имеем:
y = e x , y = 2 e x , y = 3 e x , … , y(n) = n e x .
Подставляем y , y , y , … , y(n) в уравнение (10) и получаем:
n e x + a1 n – 1 e x + … + an – 1 e x + an e x = 0 ,
n + a1 n – 1 + … + an – 1 + an = 0 . (11)
№3 слайд![Уравнение называется](/documents_6/a7cc08123711103cdacb572c7c46684a/img2.jpg)
Содержание слайда: Уравнение (11) называется характеристическим уравнением (для) уравнения (10).
Уравнение (11) называется характеристическим уравнением (для) уравнения (10).
Многочлен в левой части (11) называется характеристичес-
ким многочленом,
Корни уравнения (11) называются характеристическими корнями уравнения (10).
Замечания.
1) Формально характеристическое уравнение (11) получается из (10) заменой производных искомой функции на соответ-
ствующие степени , а самой функции – на 0 = 1 .
2) Уравнение (10) – алгебраическое уравнение n-й степени.
оно имеет n корней, но
1) каждый корень считается столько раз, какова его кратность; 2) корни могут быть комплексными (причем, комплексные корни попарно сопряжены).
Следовательно, функции вида e x в общем случае не дадут всю ф.с.р. уравнения (10).
№4 слайд![ТЕОРЕМА . ТЕОРЕМА . Пусть](/documents_6/a7cc08123711103cdacb572c7c46684a/img3.jpg)
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 6.
ТЕОРЕМА 6.
Пусть – характеристический корень уравнения (10). Тогда
1) если ℝ и – простой корень уравнения (11), то решением уравнения (10) является функция e x;
2) если ℝ и – корень кратности k уравнения (11) , то решениями уравнения (10) являются функции
e x, x e x, x2 e x, …, xk – 1 e x;
3) если = + iℂ и – простой корень уравнения (11), то ̄ = – i тоже является простым корнем уравнения (11), а решениями уравнения (10) являются функции
e x cosx , e x sinx ;
4) если = + iℂ и – корень кратности k уравнения (11), то ̄ = – i тоже является корнем кратности k уравнения (11), а решениями (10) являются функции
e x cosx, xe x cosx, x2e x cosx, …, xk – 1e x cosx
e x sinx, xe x sinx, x2e x sinx, …, xk – 1e x sinx .
Решения, относящиеся к различным характеристическим корням, линейно независимы и найденные таким образом n решений уравнения (10) будут образовывать его ф.с.р.
№5 слайд![ПРИМЕР . Найти общее решение](/documents_6/a7cc08123711103cdacb572c7c46684a/img4.jpg)
Содержание слайда: ПРИМЕР 1. Найти общее решение уравнения
ПРИМЕР 1. Найти общее решение уравнения
ПРИМЕР 2. Найти общее решение уравнения
ПРИМЕР 3. Найти общее решение уравнения
№6 слайд![. Уравнения Эйлера Линейное](/documents_6/a7cc08123711103cdacb572c7c46684a/img5.jpg)
Содержание слайда: 4. Уравнения Эйлера
Линейное однородное уравнение вида
xn y(n) + a1xn – 1 y(n – 1) + … + an – 1x y + an y = 0 , (12)
(где aiℝ) называется уравнением Эйлера.
Уравнение Эйлера сводится к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами заменой x = et .
фундаментальная система решений уравнения (12) состоит из функций вида
x ↔ e t ;
lnℓx x ↔ t ℓ e t ;
x cos(ln x) , x sin(ln x) ↔ e t cost , e t sint ;
lnℓx xcos(ln x), lnℓx xsin(ln x) ↔ tℓ e tcost, tℓ e tsint .
№7 слайд![Замечание. На практике, при](/documents_6/a7cc08123711103cdacb572c7c46684a/img6.jpg)
Содержание слайда: Замечание. На практике, при интегрировании уравнения Эйлера, можно сразу записать его характеристическое уравнении.
Замечание. На практике, при интегрировании уравнения Эйлера, можно сразу записать его характеристическое уравнении.
Действительно, характеристическое уравнение – это условие для , при котором e t является решением ЛОДУ.
Но et = x . Следовательно, то же самое условие для полу-
чится, если потребовать, чтобы функция y = x являлась решением уравнения (12).
ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения
№8 слайд![. ЛОДУ -го порядка, с](/documents_6/a7cc08123711103cdacb572c7c46684a/img7.jpg)
Содержание слайда: 5. ЛОДУ 2-го порядка, с произвольными коэффициентами
Рассмотрим уравнение
y + a1(x) y + a2(x) y = 0 . (13)
Пусть y1(x) любое ненулевое решение уравнения (13).
Тогда его общее решение имеет вид
ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения ,
если известно, что его решением является функция