Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
Тип файла:
ppt / pptx (powerpoint)
Всего слайдов:
7 слайдов
Для класса:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
Размер файла:
227.50 kB
Просмотров:
85
Скачиваний:
0
Автор:
неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд![Лектор ДьяконоваН.В..](/documents_6/929eae8515a8ba568de3aaf2a5af0f3c/img0.jpg)
Содержание слайда: Лектор ДьяконоваН.В..
№2 слайд![. Линейные дифференциальные](/documents_6/929eae8515a8ba568de3aaf2a5af0f3c/img1.jpg)
Содержание слайда: §14. Линейные дифференциальные уравнения
n-го порядка
1. Общие понятия и определения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции y и ее производных y , y , … , y(n), т.е. уравнение вида
p0(x)y(n) + p1(x)y(n – 1) + … + pn – 1(x)y + pn(x)y = g(x) , (7)
где pi(x) (i = 0, 1, 2, …, n) и g(x) – заданные функции.
Если g(x) ≡ 0, то уравнение (7) называется линейным однородным.
Если g(x) ≢ 0 , то уравнение (7) называется линейным неоднородным (или уравнением с правой частью).
№3 слайд![Так как p x , то уравнение](/documents_6/929eae8515a8ba568de3aaf2a5af0f3c/img2.jpg)
Содержание слайда: Так как p0(x) ≢ 0 , то уравнение (7) можно записать в виде:
Так как p0(x) ≢ 0 , то уравнение (7) можно записать в виде:
y(n) + a1(x) y(n – 1) + … + an – 1(x) y + an(x) y = f(x) . (8)
Уравнение (8) называют приведенным.
В дальнейшем будем работать только с приведенным уравнением.
Кроме того, будем предполагать, что ai(x) (i = 1, 2, …, n) и f(x) непрерывны на некотором отрезке [a;b].
Тогда в области
D = {(x ,y0 ,y1 ,y2 , … , yn–1) | x[a;b] , yiℝ}ℝn + 1
для уравнения (8) будут выполняться условия теоремы существования и единственности решения.
Следовательно, x0[a;b] и y0 , y0iℝ существует един-
ственное решение уравнения (8), удовлетворяющее условию
y(x0) = y0 , y (x0) = y01 , y (x0) = y02 , … , y(n–1)(x0) = y0n–1 .
№4 слайд![. Линейные однородные](/documents_6/929eae8515a8ba568de3aaf2a5af0f3c/img3.jpg)
Содержание слайда: 2. Линейные однородные уравнения n-го порядка
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) порядка n, т.е. уравнение вида
y(n) + a1(x) y(n – 1) + … + an – 1(x) y + an(x) y = 0 . (9)
ТЕОРЕМА 1 (свойство решений ЛОДУ).
Если y1(x) и y2(x) являются решениями ЛОДУ (9), то
y1(x) + y2(x) и C y1(x) (Cℝ)
тоже является решениями уравнения (9).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
СЛЕДСТВИЕ 2. Если y1 , y2 , … , yn – решения уравнения (9), то их линейная комбинация
C1 y1 + C2 y2 + … + Cn yn
тоже является решением уравнения (9) для любых постоянных C1 , C2 , … , Cn .
№5 слайд![Обозначим S a b множество](/documents_6/929eae8515a8ba568de3aaf2a5af0f3c/img4.jpg)
Содержание слайда: Обозначим: S[a;b] – множество решений уравнения (9),
Обозначим: S[a;b] – множество решений уравнения (9),
C[a;b] – множество функций, непрерывных на [a;b].
Имеем: S[a;b] C[a;b] ,
Из теоремы 1 S[a;b] – линейное подпространство C[a;b]
ЗАДАЧА. Изучить S[a;b] как линейное пространство.
Пусть y1(x) , y2(x) , … , yn(x) – (n – 1) раз дифференцируемые на [a;b] функции.
Запишем для них определитель порядка n вида
№6 слайд![Определитель W функция,](/documents_6/929eae8515a8ba568de3aaf2a5af0f3c/img5.jpg)
Содержание слайда: Определитель W – функция, определенная на [a;b].
Определитель W – функция, определенная на [a;b].
Его обозначают W(x) или W[y1 , y2 , … , yn ] и называют опреде-
лителем Вронского (вронскианом) функций y1 , y2 , … , yn .
ТЕОРЕМА 3 (необходимое условие линейной зависимости функций).
Если функции y1(x) , y2(x) , … , yn(x) n – 1 раз дифферен-
цируемы и линейно зависимы на [a;b], то их определитель Вронского на [a;b] тождественно равен нулю.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
ТЕОРЕМА 4 (достаточное условие линейной независимости решений ЛОДУ).
Если n решений ЛОДУ (9) линейно независимы на [a;b], то их определитель Вронского W[y1 , y2 , … , yn ] не может обратиться в нуль ни в одной точке этого промежутка.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
№7 слайд![СЛЕДСТВИЕ теоремы и .](/documents_6/929eae8515a8ba568de3aaf2a5af0f3c/img6.jpg)
Содержание слайда: СЛЕДСТВИЕ 5 (теоремы 3 и 4).
СЛЕДСТВИЕ 5 (теоремы 3 и 4).
Пусть y1(x) , y2(x) , … , yn(x) решения ЛОДУ (9). Тогда
1) либо W[y1 , y2 , … , yn ] ≡ 0 и это означает, что решения линейно зависимы;
2) либо не W[y1 , y2 , … , yn ] 0 , x[a;b] , и это означает, что решения линейно независимы.
ТЕОРЕМА 5 (о размерности пространства решений ЛОДУ).
Пространство решений S[a;b] ЛОДУ (9) конечномерно и его размерность совпадает с порядком дифференциального уравнения, т.е. dimS[a;b] = n .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Система n линейно независимых решений ЛОДУ n-го порядка (базис пространства S[a;b]) называется его фундамен-
тальной системой решений (фср).