Презентация Математическое моделирование. Значимость коэффициентов регрессии онлайн

Содержание слайда: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Задачи оптимизации

Содержание слайда: Значимость коэффициентов регрессии После определения оценок коэффициентов регрессии необходимо проверить гипотезу о значимости коэффициентов bi. Лучше всего это сделать в виде нуль-гипотезы, т.е. гипотезы о равенстве bi= 0. Если она подтвердится, то коэффициент bi следует признать статистически незначимым и отбросить из искомой модели; если гипотеза не подтвердится, то соответствующий коэффициент bi следует признать значимым и включить в модель.

Содержание слайда: Значимость коэффициентов регрессии Проверка гипотезы проводится с помощью t - критерия Стьюдента, который при проверке нуль-гипотезы формируется в виде где – дисперсия ошибки определения коэффициента bi. При полном и дробном факторном планировании для всех i доверительные интервалы Некоторые значения t-критерия представлены в табл.

Содержание слайда: Распределение Стьюдента

Содержание слайда: Распределение Стьюдента Статистическая незначимость коэффициента bi может быть обусловлена следующими причинами: уровень базового режима близок к точке частного экстремума по переменной Xi или по произведению переменных; шаг варьирования Δxi выбран малым; данная переменная (или произведение переменных) не имеет функциональной связи с выходным параметром y; велика ошибка эксперимента вследствие наличия неуправляемых и неконтролируемых переменных.

Содержание слайда: Распределение Стьюдента Поскольку ортогональное планирование позволяет определять доверительные границы для каждого из коэффициентов регрессии в отдельности, то если какой-либо из коэффициентов окажется незначимым, он может быть отброшен без пересчета всех остальных. После этого математическая модель объекта составляется в виде уравнения связи выходного параметра y и переменных Xi, включающего только значимые коэффициенты.

Содержание слайда: Проверка адекватности Первый вопрос, который нас интересует после вычисления коэффициентов регрессии, – это проверка ее пригодности или проверка адекватности модели. Для этого определяют дисперсию адекватности (остаточную дисперсию) где f – число степеней свободы (разность между числом опытов и числом коэффициентов (констант), которые уже вычислены по результатам этих опытов независимо друг от друга) f = N–(k+1), где N – число опытов; k – число коэффициентов регрессии bi.

Содержание слайда: Проверка адекватности Так для ПФЭ 23 f = 8–(3+1) = 4; для ПФЭ 22 f = 4–(2+1) = 1. Вычислим разность После этого для проверки адекватности используем критерий Фишера: Для определения необходимо знать число степеней свободы для дисперсий воспроизводимости и адекватности. В табл. представлены некоторые значения критерия Фишера с доверительным уровнем вероятности 95 %.

Содержание слайда: Фишеровское распределение величин для P = 0,95

Содержание слайда: Фишеровское распределение Если расчетное значение критерия Фишера не превышает табличного, то с соответствующей доверительной вероятностью модель можно считать адекватной. Если гипотеза адекватности отвергается, то модель признается неадекватной экспериментальным данным. Неадекватность модели не означает ее неправильности! Неадекватность модели может означать, что не весь перечень влияющих факторов был принят во внимание, или что необходимо перейти к более сложной форме уравнения связи, или выбрать другой шаг варьирования по одному или нескольким факторам и т. п. Однако все достижения неадекватной модели (отсев незначимых факторов, оценка дисперсии эксперимента и другие) остаются в силе

Содержание слайда: пример Рассмотрим химический процесс, в котором выход продукта реакции у (%) зависит от температуры реакционной смеси x1 (°С) и концентрации реагента х2 (%). Требуется с помощью полного факторного эксперимента найти математическое описание этого процесса в окрестности точки факторного пространства с координатами x01 = 50 °С и x02 = 25 %. При проведении полного факторного эксперимента зададимся условиями, приведенными в табл.

Содержание слайда: пример Решение. Математическое описание рассматриваемого процесса будем искать в виде уравнения регрессии y = b0+b1X1+b2X2, где кодированные переменные связаны с температурой и концентрацией следующими соотношениями: Матрица планирования и результаты полного факторного эксперимента представлены в таблице

Содержание слайда: пример На основании результатов полного факторного эксперимента рассчитаем коэффициенты регрессии: b0 = ¼(35,5+38,7+32,6+36,2) = 35,6, b1 = ¼(–35,5+38,7–32,6+36,2) = 1,95, b2 = ¼(–35,3–38,7+32,6+36,2)= –1,35. Будем считать, что оценка дисперсии среднего значения равна 0,42 (предыдущий пример ). Примем также, что с этой величиной связаны три степени свободы f = N(k–1) = 3(2–1) = 3.

Содержание слайда: пример Ошибку в определении коэффициентов регрессии вычислим как Пользуясь табл. Стьюдента, найдем, что для доверительной вероятности Р = 0,95 и трех степеней свободы значение критерия Стьюдента t = 3,18. Тогда Sb t = 0,32·3,18 = 1,03. Для оценки значимости коэффициентов регрессии рассмотрим следующие соотношения: |b0| = 35,6 > Sбt; |b1| = 1,95 > Sбt; |b2| = 1,35 > Sбt. Видно, что все коэффициенты регрессии значимы. Следовательно, искомое уравнение имеет вид y = 35,6+1,95X1–1,35X2.

Содержание слайда: пример Для проверки адекватности уравнения регрессии найдем расчетные значения функции отклика: = 35,6+1,95(–1)–1,35(–1) = 35,0; = 35,6+1,95(+1)–1,35(–1) = 38,9, = 35,6+1,95(–1)–1,35(+1) = 32,3, = 35,6+1,95(+1)–1,35(+1) = 36,2.

Содержание слайда: пример Вычислим оценку дисперсии адекватности: С ней связано число степеней свободы f = N–(k+1) = 4–3 = 1. Расчетное значение критерия Фишера Оно не превосходит табличного значения (Fтаб = 10,13), следовательно, нельзя сказать, что уравнение регрессии неадекватно.

Содержание слайда: Используемая литература 1. Основы научных исследований. Курс лекций (для студентов инженерных специальностей) / Сост. Н. Г. Бойко, О. В. Федоров – Донецк: ДонНТУ, 2007. – 76 с.