Презентация Приближенные методы решения определенных интегралов онлайн
На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему Приближенные методы решения определенных интегралов абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 23 слайда. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
- Тип файла:ppt / pptx (powerpoint)
- Всего слайдов:23 слайда
- Для класса:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Размер файла:195.60 kB
- Просмотров:64
- Скачиваний:0
- Автор:неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
Содержание слайда: Приближенные методы решения определенных интегралов
№2 слайд
Содержание слайда: Численное интегрирование
Ряд технологических задач требует увязки в математическое описание всей информации о процессе. Как правило, большинство балансовых уравнений в химической технологии представлены системой интегральных и дифференциальных уравнений, в результате решения которых могут быть получены зависимости, характеризующие протекание процесса.
Часто на практике не удается вычислить интеграл аналитическим путем. В этих случаях применяют приближенные методы численного интегрирования.
№3 слайд
Содержание слайда: Постановка задачи
Вычислить определенный интеграл
при условии, что а и b конечны и F(х) является непрерывной функцией х на всем интервале х[a,b]. Во многих случаях, когда подынтегральная функция задана в аналитическом виде, интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:
№4 слайд
Содержание слайда: Недостатки формулы Ньютона-Лейбница
первообразная функция f(x) слишком сложна и ее нельзя выразить в элементарных функциях;
функция f(x) задана в виде таблицы, что особенно часто встречается в задачах химической технологии при обработке экспериментальных данных.
В этих случаях используются методы численного интегрирования.
№5 слайд
Содержание слайда: Численное интегрирование
Задача численного интегрирования – нахождение приближенного значения интеграла по заданным или вычисленным значениям.
Общий подход к решению задачи:
Определенный интеграл представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x), осью х и переменными а и b.
Необходимо вычислить интеграл, разбивая интервал [a,b] на множество мелких интервалов, находя приблизительно площадь каждой полоски и суммируя их.
№6 слайд
Содержание слайда: В зависимости от способа вычисления подынтегральной суммы существуют различные методы численного интегрирования (методы прямоугольников, трапеций, парабол и др.).
В зависимости от способа вычисления подынтегральной суммы существуют различные методы численного интегрирования (методы прямоугольников, трапеций, парабол и др.).
№7 слайд
Содержание слайда: Метод прямоугольников
Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой:
i[xi -1,xi].
№8 слайд
Содержание слайда: Разобьём интервал интегрирования [a,b] на n равных частей. Обозначим
Разобьём интервал интегрирования [a,b] на n равных частей. Обозначим
хi = h - шаг разбиения.
Формула прямоугольника применяется к каждому отрезку. В качестве точек i выбираются левые (i=хi-1) или правые (i=хi) границы элементарных отрезков.
№9 слайд
Содержание слайда:
№10 слайд
Содержание слайда: Более точным является вид формулы прямоугольников, использующий значения функции в средних точках элементарных отрезков. Таким образом, площадь криволинейной трапеции заменяется суммой прямоугольников с основанием h и высотами, равными значениям функции f(x) в середине оснований.
Более точным является вид формулы прямоугольников, использующий значения функции в средних точках элементарных отрезков. Таким образом, площадь криволинейной трапеции заменяется суммой прямоугольников с основанием h и высотами, равными значениям функции f(x) в середине оснований.
№11 слайд
Содержание слайда: Получим формулу:
Получим формулу:
где
или
№12 слайд
Содержание слайда: Метод трапеций
Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т.е. график функции у =f(х) представляется в виде ломаной, соединяющей точки (хi, уi).
№13 слайд
Содержание слайда: Площадь каждой такой трапеции определяется по формуле
Площадь каждой такой трапеции определяется по формуле
i=1,2,...,n , где n – число интервалов разбиения
Складывая все эти равенства, получим формулу трапеций для численного интегрирования:
или
№14 слайд
Содержание слайда: Данные формулы можно представить в виде:
Данные формулы можно представить в виде:
№15 слайд
Содержание слайда: Метод парабол.
Формула Симпсона
Метод более точный по сравнению с методами прямоугольников и трапеций.
В основе формулы Симпсона квадратичная интерполяция подынтегральной функции на отрезке [a ,b] по трем равноотстоящим узлам.
Разобьем интервал интегрирования [a, b] на четное число n равных отрезков с шагом h.
Примем: x0=a, x1=x0 + h, ... , xn=x0 + nh=b.
Значения функций в точках обозначим соответственно:
y0=f(a); y1=f(x1); y2=f(x2); ... ; yn=f(b).
№16 слайд
Содержание слайда: Метод парабол
На каждом отрезке [x0,x2], [x2,x4], ..., [xi-1,xi+1] подынтегральную функцию f(x) заменим интерполяционным многочленом второй степени.
где
В качестве Рi(х) можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через концы каждых трех ординат:
y0, y1, y2 ; y2, y3, y4 ; y4, y5, y6; .... ; yn-2, yn-1, yn.
№17 слайд
Содержание слайда: Формула Лагранжа для интервала [xi-1, xi+1]
№18 слайд
Содержание слайда:
№19 слайд
Содержание слайда: Элементарная площадь si может быть вычислена с помощью определенного интеграла.
Элементарная площадь si может быть вычислена с помощью определенного интеграла.
Учитывая, что xi – xi-1=xi+1 – xi=h, получим для каждого элементарного участка:
После суммирования интегралов по всем отрезкам, получим составную формулу Симпсона:
Упрощенная формула Симпсона:
№20 слайд
Содержание слайда: Пример: Вычислить значение энтропии воды при нагревании ее от 400 до 500 К по формуле:
Пример: Вычислить значение энтропии воды при нагревании ее от 400 до 500 К по формуле:
Принимаем количество молей n=1, значение теплоемкости при v=const:
Cv=35,0 Дж/мольК .
Разобьем интервал интегрирования на 10 равных частей. Шаг интегрирования будет равен h=(500 – 400) /10 =10.
Результаты вычислений в таблице
№21 слайд
Содержание слайда:
№22 слайд
Содержание слайда: Вычислим интеграл, используя данные таблицы:
Вычислим интеграл, используя данные таблицы:
по формуле трапеций:
по формуле Симпсона:
по формуле прямоугольников:
№23 слайд
Содержание слайда: Найдем точное значение интеграла:
Найдем точное значение интеграла:
Относительная погрешность вычислений по формуле трапеций, Симпсона и прямоугольников составляет соответственно: 0,01, 0,001, 0,005 %.
Таким образом, наибольшую точность вычислений получили по формуле Симпсона.
Скачать все slide презентации Приближенные методы решения определенных интегралов одним архивом:
