Презентация Системы линейных уравнений. Метод Гаусса онлайн

Содержание слайда: ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 5 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (продолжение) МЕТОД ГАУССА

Содержание слайда: § 1. МЕТОД ГАУССА § 1. МЕТОД ГАУССА Решить систему линейных уравнений – значит получить равносильную ей систему, которая уже является разрешенной или несовместной. Это удобно сделать при помощи метода Гаусса, который позволяет привести систему к более простому виду, с помощью элементарных преобразований строк в расширенной матрице системы Пусть дана система линейных уравнений. Поставим на первое место любое уравнение с ненулевым коэффициентом при x1:

Содержание слайда: Шаг 1: умножим каждое уравнение, кроме первого, на множитель a11/ai1, где i -номер уравнения в системе (номер строки системы). Шаг 1: умножим каждое уравнение, кроме первого, на множитель a11/ai1, где i -номер уравнения в системе (номер строки системы). после этого все коэффициенты при переменной x1 во всех уравнениях равны a11.

Содержание слайда: Шаг 2: Вычтем из каждого уравнения системы, начиная со второго, первое уравнение. Получим систему, в которой все коэффициенты при x1 во всех уравнениях, кроме первого обратились в ноль. Шаг 2: Вычтем из каждого уравнения системы, начиная со второго, первое уравнение. Получим систему, в которой все коэффициенты при x1 во всех уравнениях, кроме первого обратились в ноль. Повторить шаги 1-2 для второго столбца, начиная с третьего уравнения. И т.д. Рассмотрим частные случаи приведенных по методу Гаусса систем в случае с тремя неизвестными.

Содержание слайда: Случай 1. Система методом Гаусса приведена к следующему виду: Случай 1. Система методом Гаусса приведена к следующему виду: В данном случае система имеет единственное решение, которое получается последовательным нахождением переменных, начиная с последнего уравнения: Замечание: в данном случае ранг основной матрицы равен 3, ранг расширенной матрицы также равен 3.

Содержание слайда: Случай 2. Система методом Гаусса приведена к следующему виду: Случай 2. Система методом Гаусса приведена к следующему виду: В данном случае система из-за последнего уравнения несовместна и, следовательно, не имеет решений. Ранг основной матрицы системы очевидно равен 2. Рассмотрим расширенную матрицу системы и минор из первого столбца, второго столбца и столбца свободных членов. Порядок полученного минора равен 3. Следовательно, ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы системы. В этом случае система решения не имеет.

Содержание слайда: Случай 3. Система методом Гаусса приведена к следующему виду: Случай 3. Система методом Гаусса приведена к следующему виду: Последнее уравнение системы обратилось в ноль, и система стала недоопределенной – два уравнения на три неизвестных. Запишем решение системы следующим образом: Задавая различные значения параметра k, мы получим различные решения системы. Следовательно, решений бесконечно много. Так как решение зависит от одного параметра, то размерность решения равна 1.

Содержание слайда: Рассмотрим ранги основной матрицы системы и расширенной матрицы. Рассмотрим ранги основной матрицы системы и расширенной матрицы. Они, очевидно, совпадают (равны 2), но меньше размерности системы (количества неизвестных). Теорема Кронекера-Капелли: Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы. Следствие: Если ранги основной и расширенной матриц линейной системы совпадают с количеством переменных, то система имеет единственное решение. При применении метода Гаусса на практике следует производить преобразования над строками расширенной матрицы системы.

Содержание слайда: Пример. Решить методом Гаусса систему Пример. Решить методом Гаусса систему Решение. Расширенная матрица системы имеет вид Прибавив ко второй строке первую, умноженную на (-2), к третьей – первую, умноженную на (-3), к четвертой – первую, умноженную на (-1), получим

Содержание слайда: Разделим третью строку на 13 и поменяем местами вторую и третью строки: Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на (-9), к четвертой – вторую, умноженную на (-2):

Содержание слайда: Полагая x2 = c, получаем общее решение: