Презентация Векторная алгебра. Расчет модели онлайн

Содержание слайда: Глава II. Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В векторной алгебре изучаются линейные операции над свободными векторами (сложение векторов и умножение вектора на число) и различные произведения векторов (скалярное, псевдоскалярное, векторное, смешанное и двойное векторное). В векторном анализе изучают векторы, являющиеся функциями одного или нескольких скалярных аргументов.

Содержание слайда: § 6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Основные понятия ОПР. Вектором называется направленный отрезок (т.е. отрезок, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая – за конец). Обозначают: (где А – начало вектора, В – его конец), и т.д.

Содержание слайда: Расстояние от начала вектора до его конца называется длиной (или модулем) вектора. Расстояние от начала вектора до его конца называется длиной (или модулем) вектора.

Содержание слайда: Два вектора ā и b̄ называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Два вектора ā и b̄ называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. ā = b̄ . Все нулевые векторы считаются равными. Векторы ā и b̄ , лежащие на перпендикулярных прямых, называются перпендикулярными (ортогональными). ā  b̄ . Три вектора, лежащие в одной или в параллельных плоскостях, называются компланарными. Векторы, начала которых строго фиксированы называют связанными; Векторы, начала которых можно перемещать (параллельно переносить), называют свободными. Пример – сила тяжести. Какой вектор?

Содержание слайда: 2. Линейные операции на множестве векторов Умножение на число; 2) Сложение векторов ОПР. Произведением вектора ā  0̄ на число   0 называется вектор, длина которого равна || · |ā| , а направление совпадает с направлением вектора ā при  > 0 и противоположно ему при  < 0 . Обозначают:  ā Если ā = 0̄ или  = 0, то  ā = 0̄ . Вектор (–1)ā называют противоположным вектору ā Обозначают –ā . ЛЕММА 1 (критерий коллинеарности векторов). Два вектора ā и b̄ коллинеарны тогда и только тогда, когда ā =  · b̄ , для некоторого числа   0 .

Содержание слайда: ОПР. (сложение - правило треугольника). ОПР. (сложение - правило треугольника). Пусть даны два вектора ā и b̄ . Поместим начало b̄ в конец ā . Вектор, соединяющий начало первого и конец второго построенных векторов, называется суммой векторов ā и b̄ и обозначается ā + b̄ . Следствие – правило многоугольника.

Содержание слайда: ОПР. (правило параллелограмма). ОПР. (правило параллелограмма). Пусть даны два вектора ā и b̄ . Совместим их начала, построим на этих векторах параллелограмм. Суммой векторов ā и b̄ будет вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, выходящей из точки начал векторов и . Частный случай: сумма ā + (– b̄ ) Сумму ā + (– b̄ ) называют разностью векторов ā и b̄ и обозначают ā – b̄ .

Содержание слайда: СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ НАД ВЕКТОРАМИ

Содержание слайда: 3. Проекция вектора ОПР. Прямую, на которой выбрано направление, называют осью. Пусть ℓ – ось, – некоторый вектор. Пусть A1 и B1– ортогональные проекции на ось ℓ точек A и B соответственно. Вектор назовем векторной проекцией вектора на ось ℓ . ОПР. Проекцией (ортогональной проекцией) вектора ā на ось ℓ называется 1) длина его векторной проекции на ось ℓ, взятая со знаком плюс, если вектор и ось ℓ сонаправлены; 2) Та же длина, но взятая со знаком минус, если вектор и ось ℓ противоположно направлены Обозначают:

Содержание слайда: 4. Понятия линейной зависимости и независимости. Базис ОПР. Говорят, что векторы ā1, ā2, …, āk линейно зависимы, если существуют числа 1,2, …, k , не все равные нулю и такие, что 1 · ā1+2 · ā2+ …+ k · āk = ō Если равенство (1) возможно только при условии 1=2= …=k=0, то векторы ā1, ā2, …, āk называют линейно независимыми. ЛЕММА 2 (необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов). Векторы ā1, ā2, …, āk линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них линейно выражается через оставшиеся. Доказательство.  Замечание. Часто в качестве определения линейно зависимых векторов берут формулировку леммы 2.

Содержание слайда: Пусть V(3)– множество свободных векторов пространства (V(2) - плоскости). Пусть V(3)– множество свободных векторов пространства (V(2) - плоскости). ОПР. Совокупность любых двух линейно независимых векторов, принадлежащих одной плоскости (V(2)), называется базисом на этой плоскости. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. ОПР. Аналогично для V(3). СФОРМУЛИРОВАТЬ САМИМ ! Т.е. ā1, ā2, ā3  V(3) образуют базис если а) ā1, ā2, ā3 – линейно независимы; б) ā1, ā2, ā3 , ā – линейно зависимы для любого вектора ā из V(3). ЛЕММА 3 (о базисе V(3) и V(2) ). 1) Базисом множества V(2) являются любые два неколлинеарных вектора. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 2) Базисом в V(3) являются любые три некомпланарных вектора ДОКАЗАТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО ! ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ координат свободного вектора – это проекции вектора на направления базисных векторов.

Содержание слайда: Системы координат. Системы координат. ОПР. Осью называется прямая с выбранным на ней направлением. ОПР. Афинной системой координат (косоугольной системой координат) называется совокупность точки, приложенного к ней афинного базиса и определяемых базисными векторами осей. Замечание. Проекции в афинном базисе не ортогональные! В качестве базиса V(2) можно взять любые два неколлинеарных (любые три некомпланарных в V(3) ) вектора. Но на практике предпочитают работать с декартовым прямоугольным базисом i , j (i, j, k). ОПР. Декартовой системой координат называется совокупность точки, приложенного к ней декартового базиса и осей ОХ, ОY, OZ.

Содержание слайда: ТЕОРЕМА 4 (о базисе). Каждый вектор множества V(3) (V(2)) линейно выражается через любой его базис , причем единственным образом. ТЕОРЕМА 4 (о базисе). Каждый вектор множества V(3) (V(2)) линейно выражается через любой его базис , причем единственным образом. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Содержание слайда: ТЕОРЕМА 5 (основная теор. векторной алгебры). ТЕОРЕМА 5 (основная теор. векторной алгебры). Пусть {α1, α2, α3} – координаты вектора ā в базисе ē1, ē2, ē3 {β1, β2, βn} – координаты вектора b̄ в том же базисе. Тогда 1) вектор ā + b̄ будет иметь в базисе ē1, ē2, ē3 координаты {α1 + β1, α2 + β2, α3 + β3}; 2) λℝ вектор λā будет иметь в базисе ē1,ē2,ē3 координаты {λα1 , λα2, λα3} .

Содержание слайда: ТЕОРЕМА 6 (критерий коллинеарности свободных векторов в координатной форме). ТЕОРЕМА 6 (критерий коллинеарности свободных векторов в координатной форме). Векторы ā = {α1 ; α2 ; α3} и b̄ = {β1 ; β2 ; β3} коллинеарны  их координаты пропорциональны, т.е. Причем, если коэффициент пропорциональности k > 0 , то векторы ā и b̄ – сонаправлены; если k < 0, то ā и b̄ – противоположно направлены .

Содержание слайда: Матрица перехода Матрица перехода Рассмотрим два базиса векторного пространства V(3) Е = {ēi} = и F = {f̅i} =

Содержание слайда: ТЕОРЕМА 7 (связь координат вектора в разных базисах). ТЕОРЕМА 7 (связь координат вектора в разных базисах). Пусть ē1, ē2, ē3 и f̅1 , f̅2 , f̅3 два базиса во множестве V(3) . Причем имеют место равенства f̅1 = τ11ē1 + τ21ē2 + τ31ē3 , f̅2 = τ12ē1 + τ22ē2 + τ32ē3 , f̅3 = τ13ē1 + τ23ē2 + τ33ē3 . Если вектор ā имеет в базисе ē1,ē2,ē3 координаты {α1 , α2, α3}, а в базисе f̅1 , f̅2 , f̅3 – координаты {β1 , β2, βn}, то справедливо равенство A = TB , где