Презентация Дифференциальные уравнения высших порядков. (Лекция 2. 10) онлайн
На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему Дифференциальные уравнения высших порядков. (Лекция 2. 10) абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 15 слайдов. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
- Тип файла:ppt / pptx (powerpoint)
- Всего слайдов:15 слайдов
- Для класса:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Размер файла:414.50 kB
- Просмотров:86
- Скачиваний:0
- Автор:неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
Содержание слайда: Лекция 2-10.
12.2.4 Дифференциальные уравнения высших порядков.
Определение. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение
Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной имеет вид
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид
Частные решения дифференциального уравнения определяются из начальных условий
№2 слайд
Содержание слайда: Теорема о существовании и единственности решения.
Если функция и ее производные
непрерывны в окрестности значений
то дифференциальное уравнение
в достаточно малом интервале имеет единственное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям
№3 слайд
Содержание слайда: 12.3. Линейные дифференциальные уравнения.
12.3.1. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка.
Определение. Линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка называется дифференциальное уравнение 1-й степени относительно неизвестной функции и ее производных
(*)
Функция называется правой частью дифференциального уравнения.
Если то уравнение называется однородным. В противном случае - уравнение называется неоднородным.
№4 слайд
Содержание слайда: Если непрерывны, то
существует единственное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Дифференциальное уравнение
можно привести к виду (*), разделив на
Там, где - особые точки.
№5 слайд
Содержание слайда: 12.3.2. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка без правой части.
(**)
Считаем, что непрерывны на Тривиальное решение
Теорема 1. Если - решения дифференциального уравнения (**), то их линейная комбинация также является решением уравнения (**) для любых
Доказательство:
Подставим в уравнение
№6 слайд
Содержание слайда: Теорема 2.
Если - решения дифференциального
уравнения (**) и то
общее решение дифференциального уравнения.
Доказательство: Покажем, что можно подобрать так, чтобы решение удовлетворяло начальным условиям. Подставим начальные условия в выражения для и
Определитель системы
№7 слайд
Содержание слайда: Покажем, что определитель
Если это так, то система имеет решение
Предположим обратное. Определитель равен нулю. Тогда система
при нулевых начальных условиях помимо нулевого, имеет бесконечное множество ненулевых решений. Пусть одно из них. Тогда
Следовательно что противоречит условию.
№8 слайд
Содержание слайда: 12.3.3. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с правой частью.
(***)
Теорема. Общее решение дифференциального уравнения (***) есть сумма общего решения однородного уравнения (**) и частного решения неоднородного уравнения (***).
Доказательство: Пусть - общее решение одно-родного уравнения, - частное решение неоднород-ного уравнения. Рассмотрим их сумму
Тогда
Следовательно
№9 слайд
Содержание слайда: 12.3.4. Однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Ищем решение в виде где - действительное или комплексное число.
Подставим в дифференциальное уравнение
Получили характеристическое уравнение
Рассмотрим 3 варианта решения этого уравнения.
№10 слайд
Содержание слайда: 1) действительные числа.
Получили два решения дифференциального уравнения
Общее решение дифференциального уравнения
- произвольные постоянные.
№11 слайд
Содержание слайда: Пример.
№12 слайд
Содержание слайда: действительное число.
Покажем, что
Подставим в уравнение
По теореме Виета т.е.
Следовательно
№13 слайд
Содержание слайда: Пример.
№14 слайд
Содержание слайда: 3)
Если дифференциальное уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексное решение
то каждая из функций и является решением уравнения.
По формуле Эйлера
Тогда
№15 слайд
Содержание слайда: Пример.
Для любых начальных условий существует единственное решение.
Скачать все slide презентации Дифференциальные уравнения высших порядков. (Лекция 2. 10) одним архивом:
