Презентация Функции нескольких переменных. (Тема 5) онлайн
На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему Функции нескольких переменных. (Тема 5) абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 46 слайдов. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
- Тип файла:ppt / pptx (powerpoint)
- Всего слайдов:46 слайдов
- Для класса:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Размер файла:1.76 MB
- Просмотров:76
- Скачиваний:1
- Автор:неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
Содержание слайда: Функции нескольких переменных
(ФНП)
№2 слайд
Содержание слайда: Евклидово пространство Rn
Пусть имеем n действительных чисел х1,х2, х3,...хn, где
Упорядоченный набор (х1,х2, х3,...хn) определяет точку n-мерного пространства Rn:
Множество точек
называется областью (подмножеством) пространства Rn
Расстоянием между точками х и у называют величину
что соответствует обычной евклидовой норме.
№3 слайд
Содержание слайда: Определение ФНП
Если каждой точке М(х1,х2, х3,...хn) из множества по некоторому правилу ставится в соответствие вполне определенное значение переменной величины z, то говорят, что на множестве D задана функция нескольких переменных z = f (х1,х2, х3,...хn)
Обозначения:
х1,х2, х3,...хn – независимые переменные, аргументы
z – зависимая переменная, функция
f – закон соответствия, правило
D – область определения функции,
Z – область значений функции,
№4 слайд
Содержание слайда: Примеры ФНП
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда:
где х1, х2, х3 - измерения параллелепипеда
Производственная функция Кобба-Дугласа:
Зависимая переменная Q – объем выпуска продукции,
Аргументы: К – затраты капитала, L- затраты трудовых ресурсов;
Параметры: А – параметр производительности, α – доля капитала в доходе
№5 слайд
Содержание слайда: Договоренности
Обычно рассматривают функции
двух переменных или
трех переменных
Далее рассмотрим функцию двух переменных (n=2):
Все утверждения справедливы при n>2
№6 слайд
Содержание слайда: Способы задания ФНП
При аналитическом способе задания используют чаще всего:
явное задание функции, т.е. уравнением вида
неявный способ посредством уравнения, связывающего три переменные величины:
В этом случае каждую из величин x, y, z можно рассматривать как неявную функцию двух остальных.
№7 слайд
Содержание слайда: Графическое представление ФНП
Графиком ФНП называют множество точек пространства Rn+1, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.
График функции двух переменных – поверхность в трехмерном пространстве (x,y,z)
№8 слайд
Содержание слайда: Примеры
Графиком функции является верхняя половина сферы ,
а графиком функции - нижняя половина этой же сферы.
Графиком линейной функции
z = ax + by + с является
плоскость в пространстве Oxyz,
а графиком функции z = сonst
- плоскость, параллельная
координатной плоскости Oxyz.
№9 слайд
Содержание слайда: Примеры
Построить график функции
Построим график в системе Maple
№10 слайд
Содержание слайда: Графическое представление ФНП
Линией (поверхностью) уровня функции нескольких переменных называется множество таких точек на плоскости, что значение функции в них одно и то же и равно С.
Число С называют уровнем.
№11 слайд
Содержание слайда: График и линии уровня ФНП
№12 слайд
Содержание слайда: Предел и непрерывность функций нескольких переменных
№13 слайд
Содержание слайда: Окрестности точки в Rn
Круговой δ-окрестностью Uδ точки М0 (x0, y0) называется круг радиуса δ с центром в точке M0, т.е. множество точек M (x, y), координаты которых удовлетворяют неравенству
Прямоугольной δ-окрестностью Vδ точки М0 (x0, y0) называется прямоугольник
с центром в точке M0 со сторонами 2δ.
№14 слайд
Содержание слайда: Предел ФНП в точке
Число A называется пределом функции f (x, y) при и , если для любого числа ε>0 можно найти такое число δ>0, что неравенство выполняется для всех точек М(х,у) из δ-окрестности точки М0 (x0, y0).
Обозначения:
Символически:
Геометрический смысл определения: в точках достаточно малой окрестности точки М0 значения функции f(х, у) как угодно мало отличаются от числа А.
№15 слайд
Содержание слайда: Предел ФНП
Понятия предела функций одной и нескольких переменных во многом аналогичны:
Рассматривают предел в бесконечно удаленной точке,
Используют понятия бесконечно большой и бесконечно малой функций;
Имеют место те же теоремы о свойствах пределов;
Используют те же приемы вычисления пределов.
НО основное различие между ними касается условия существования предела: для ФНП стремление к предельной точке может происходить по бесконечному числу направлений, потому для существования предела у ФНП должны совпадать пределы по всем возможным направлениям.
№16 слайд
Содержание слайда: Пример
Найти предел
Решение
Обозначим . Условие х→0, у→0 равносильно ρ→0.
Перейдем в пределе к переменной ρ:
№17 слайд
Содержание слайда: Пример
Найти
Решение
По любой прямой предел один и тот же:
С другой стороны, пусть стремление к предельной точке происходит по кривой
Тогда
Следовательно, предел не существует.
№18 слайд
Содержание слайда: Непрерывность ФНП
Пусть функция определена в окрестности Uδ точки М0 (x0, y0).
Функция называется непрерывной в точке М0 (x0, y0), если
Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции:
Функцию, непрерывную в каждой точке области D, называют непрерывной в этой области.
№19 слайд
Содержание слайда: Пример
Исследовать на непрерывность функцию
Решение
Функция определена при всех значениях переменных x и y, кроме начала координат, где знаменатель обращается в нуль.
Многочлен x2+y2 непрерывен всюду → непрерывен корень квадратный из непрерывной функции → дробь непрерывна всюду, кроме точек, где её знаменатель равен нулю.
Итак, рассматриваемая функция непрерывна на всей координатной плоскости Оху, исключая начало координат.
№20 слайд
Содержание слайда: Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
№21 слайд
Содержание слайда: Частные производные ФНП
первого порядка
Пусть функция двух переменных определена в области D, а М0 (x0, y0) – внутренняя точка области D.
Дадим аргументу x приращение Δx = x - x0, тогда функция z получит частное приращение по x:
Если существует конечный предел
то этот предел называется частной производной функции по х в точке М0 и обозначается одним из символов:
№22 слайд
Содержание слайда: Частные производные ФНП
первого порядка
Аналогично определяется частная производная по у. Используются обозначения:
Производные называются частными производными первого порядка или первыми частными производными.
Частная производная по какой-либо переменной есть обычная производная, при условии, что все остальные переменные – константы.
Правила и формулы дифференцирования функций одной переменной справедливы при нахождении частных производных ФНП.
№23 слайд
Содержание слайда: Пример
Найти частные производные функции
Решение
№24 слайд
Содержание слайда: Геометрический смысл частных производных ФНП
Пусть поверхность Р – график функции
При у=у0 получим:
кривая Гх – сечение Р;
α – угол наклона касательной к кривой Гх в точке (х0,у0) к оси Ох;
Аналогично при х=х0
№25 слайд
Содержание слайда: Пример
Какой угол образует с осью Ох касательная к линии
в точке М (2,4,5)?
Решение
Так как значение у фиксировано (у=4), используем геометрический смысл частной производной по переменной х (при постоянном у):
значение в точке М
Следовательно и α=450
№26 слайд
Содержание слайда: Полный дифференциал
Пусть функция определена в области D, а М0 (x0, y0) – внутренняя точка области D.
Дадим ее аргументам x и у соответствующие приращения Δx и Δу, тогда функция z получит полное приращение:
Существенную часть полного приращения функции составляет ее дифференциал
Дифференциалом (полным дифференциалом) ФНП называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных:
№27 слайд
Содержание слайда: Дифференцируемость ФНП
Функция называется дифференцируемой в точке (х0, у0), если ее полное приращение может быть представлено в виде
где α и β- бесконечно малые относительно Δx и Δу.
Для дифференцируемости ФНП существование у нее частных производных является лишь необходимым, но недостаточным условием.
Достаточное условие дифференцируемости ФНП: если частные производные существуют в окрестности точки (х0, у0) и непрерывны в самой точке, то функция дифференцируема в этой точке
№28 слайд
Содержание слайда: Производная по направлению
Пусть функция определена в окрестности точки М0 (x0, y0); l - некоторое направление
При перемещении точки М0 (x0, y0) в данном направлении l в точку М (x, y) функция z получит приращение
- приращение функции z в данном направлении l.
Производной функции z по направлению l называется предел
Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в данном направлении
№29 слайд
Содержание слайда: Градиент
Градиентом функции называется вектор, координаты которого равны соответственно частным производным:
Связь градиента функции с производной по направлению l определяется равенством
где – единичный вектор, задающий направление l.
Градиент функции характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания функции в точке.
Зная градиент функции в каждой точке, можно локально строить линии уровня, т.к. градиент перпендикулярен линии уровня.
№30 слайд
Содержание слайда: Частные производные ФНП
высших порядков
Частные производные первого порядка сами являются функциями нескольких переменных, их также можно дифференцировать.
Для функции возможны четыре вида частных производных второго порядка:
и восемь – третьего порядка:
В случае большего числа аргументов все вторые частные производные функции u = u(x1,…,xn) можно записать с помощью матрицы Гессе:
№31 слайд
Содержание слайда: Частные производные ФНП
высших порядков
Частные производные, в которых дифференцирование производится по одинаковым переменным называются повторными; по разным переменным - смешанными.
Если функция нескольких переменных необходимое количество раз дифференцируема в точке (имеет непрерывные частные производные), то ее смешанные производные в этой точке равны.
В силу равенства смешанных производных матрица Гессе симметрична
№32 слайд
Содержание слайда: Экстремумы функции нескольких переменных
№33 слайд
Содержание слайда: Локальный экстремум ФНП
Точка М0 (x0, y0) называется точкой максимума (локального максимума) функции , если существует окрестность UM0 точки М0, в каждой точке М которой выполняется неравенство f(M0)≥f(M)
Точка М0 (x0, y0) называется точкой минимума (локального минимума) функции , если существует окрестность UM0 точки М0, в каждой точке М которой выполняется неравенство f(M0) ≤f(M)
№34 слайд
Содержание слайда: Локальный экстремум ФНП
В критических точках функция может иметь экстремум, а может не иметь, т.е. необходимое условие экстремума не является достаточным
№35 слайд
Содержание слайда: Локальный экстремум ФНП
Достаточное условие экстремума ФНП:
Пусть функция имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окрестности критической точки М0:
Тогда
если то экстремум есть,
причем при А > 0 в точке М0 – минимум функции;
при А < 0 - максимум.
если то экстремума в точке М0 нет;
если то требуется дополнительное исследование
№36 слайд
Содержание слайда: Локальный экстремум ФНП
Схема исследования ФНП на экстремум
Найти частные производные первого порядка
Найти критические точки, решая систему уравнений
Найти частные производные второго порядка
Вычислить значения вторых производных в критических точках, проверить достаточные условия экстремума
Найти экстремальные значения функции.
№37 слайд
Содержание слайда: Локальный экстремум. Примеры
№38 слайд
Содержание слайда:
№39 слайд
Содержание слайда: Локальный экстремум. Примеры
Исследовать на экстремум функцию
Решение
Найдем
Критические точки: →
Найдем
Проверка достаточных условий:
проведем дополнительное исследование – рассмотрим ∆z(0;0)=z(h,k)-z(0,0)
при
при
приращение ∆z(0;0) принимает значения разных знаков, поэтому в точке (0;0) экстремума нет.
№40 слайд
Содержание слайда: Наибольшее и наименьшее значения ФНП в замкнутой области
№41 слайд
Содержание слайда: Наибольшее и наименьшее значения ФНП в замкнутой области
№42 слайд
Содержание слайда: Наибольшее и наименьшее значения ФНП в замкнутой области
№43 слайд
Содержание слайда: Условный экстремум ФНП
Условным экстремумом функции z=f(х,у) называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что аргументы х и у связаны уравнением g(x,y)=C.
Уравнение g(x,y)=C называется уравнением связи.
Геометрический смысл:
выбор наибольшего (наименьшего)
значения среди точек, лежащих на
линии, определяемой уравнением
связи.
№44 слайд
Содержание слайда: Условный экстремум ФНП
1 способ – выражение одной неизвестной из уравнения связи
Пример. Найти экстремумы функции при условии
Выразим из уравнения связи переменную у:
Подставив это выражение в функцию z, получим
Исследуем ее как функцию одной переменной:
при - точка минимума, откуда
Точка (3,1) - точка условного экстремума (минимума):
№45 слайд
Содержание слайда: Условный экстремум.
Метод множителей Лагранжа
2 способ (универсальный) – метод неопределенных множителей Лагранжа - используется, когда из уравнения связи выражение ни одной из переменных невозможно или число переменных больше двух.
Алгоритм метода:
Составить функцию Лагранжа:
Исследовать функцию Лагранжа на экстремум как функцию трех переменных.
№46 слайд
Содержание слайда: Условный экстремум.
Метод множителей Лагранжа
Скачать все slide презентации Функции нескольких переменных. (Тема 5) одним архивом:
