Презентация Кратные интегралы. (Лекция 3) онлайн
На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему Кратные интегралы. (Лекция 3) абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 27 слайдов. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
- Тип файла:ppt / pptx (powerpoint)
- Всего слайдов:27 слайдов
- Для класса:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Размер файла:197.50 kB
- Просмотров:75
- Скачиваний:2
- Автор:неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
Содержание слайда: КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов.
№2 слайд
Содержание слайда: Двойные интегралы.
Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой
f(x, y) = 0.
Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью . Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой областью .
С геометрической точки зрения - площадь фигуры, ограниченной контуром.
№3 слайд
Содержание слайда: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Площадь фигуры S делим на элементарные прямоугольники, площади которых равны Si = xi yi
В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(хi, yi) и составим интегральную сумму
где где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области .
Если бесконечно увеличивать количество частичных областей i, тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка Si стремится к нулю.
№4 слайд
Содержание слайда: Определение:
Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения области интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области .
т.е.
С учетом того, что Si = xi yi получаем:
№5 слайд
Содержание слайда: Условия существования двойного интеграла.
Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , то двойной интеграл существует.
Теорема. Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно – гладких линий, то двойной интеграл существует.
№6 слайд
Содержание слайда: Свойства двойного интеграла.
1)
2)
3) Если = 1 + 2, то
4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции
f(x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования.
№7 слайд
Содержание слайда: Свойства двойного интеграла.
5) Если f(x, y) 0 в области , то
6) Если f1(x, y) f2(x, y), то
7)
№8 слайд
Содержание слайда: Вычисление двойного интеграла.
Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b),
y = (x), y = (x), где и - непрерывные функции и
, тогда
№9 слайд
Содержание слайда: Пример.
Вычислить интеграл , если область ограничена линиями:
y = 0, y = x2, x = 2.
Решение:
№10 слайд
Содержание слайда: Вычисление двойного интеграла
Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = (y), x = (y) ((y) (y)), то
№11 слайд
Содержание слайда: Пример:
Вычислить интеграл ,
если область ограничена линиями
y = x, x = 0, y = 1, y = 2.
Решение:
№12 слайд
Содержание слайда: Пример.
Вычислить интеграл если область интегрирования ограничена линиями
х = 0, х = у2, у = 2.
Решение:
№13 слайд
Содержание слайда: Замена переменных в двойном интеграле.
Рассмотрим двойной интеграл вида , где переменная х изменяется в пределах от a до b, а переменная у – от у1(x) до у2(х), т.е.
Положим х = х(u, v); y = у(u, v), тогда
№14 слайд
Содержание слайда: Т.к. при первом интегрировании приведенное выше выражение для dx принимает вид ( при первом интегрировании полагаем v = const,
dv = 0), то при изменении порядка интегрирования, получаем соотношение:
№15 слайд
Содержание слайда: Двойной интеграл в полярных координатах.
Воспользуемся формулой замены переменных:
При этом известно, что
В этом случае Якобиан имеет вид:
№16 слайд
Содержание слайда: Тогда
Здесь - новая область значений,
№17 слайд
Содержание слайда: Тройной интеграл.
Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в техмерном пространстве.
Суммирование производится по области v, которая ограничена некоторой поверхностью (x, y, z) = 0.
Здесь х1 и х2 – постоянные величины, у1 и у2 – могут быть некоторыми функциями от х или постоянными величинами, z1 и z2 – могут быть функциями от х и у или постоянными величинами.
№18 слайд
Содержание слайда: Пример.
Вычислить интеграл
Решение:
№19 слайд
Содержание слайда: Замена переменных в тройном интеграле.
Операция замены переменных в тройном интеграле аналогична соответсвующей операции для двойного интеграла.
Можно записать:
где
№20 слайд
Содержание слайда: Геометрические и физические приложения кратных интегралов.
1) Вычисление площадей в декартовых координатах.
№21 слайд
Содержание слайда: Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y2 = 4x + 4; x + y – 2 = 0.
Решение: построим графики заданных функций:
Линии пересекаются в двух точках – (0, 2) и (8, -6). Таким образом, область интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от до
х = 2 – у, а по оси
Оу – от –6 до 2.
№22 слайд
Содержание слайда: Тогда искомая площадь равна:
S =
№23 слайд
Содержание слайда: 2) Вычисление площадей в полярных координатах.
№24 слайд
Содержание слайда: 3) Вычисление объемов тел.
Пусть тело ограничено снизу плоскостью ху, а сверху– поверхностью
z = f(x,y), а с боков – цилиндрической поверхностью. Такое тело называется цилиндроид.
№25 слайд
Содержание слайда: Пример.
Вычислить объем, ограниченный поверхностями: x2 + y2 = 1;
x + y + z =3 и плоскостью ХОY.
Пределы интегрирования: по оси ОХ:
по оси ОY: x1 = -1; x2 = 1;
Решение:
№26 слайд
Содержание слайда: 4) Вычисление площади кривой поверхности.
Если поверхность задана уравнением: f(x, y, z) = 0, то площадь ее поверхности находится по формуле:
Если поверхность задана в неявном виде, т.е. уравнением z = (x, y), то площадь этой поверхности вычисляется по формуле:
№27 слайд
Содержание слайда: 5) Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла.
Если поверхность тела описывается уравнением f(x, y, z) = 0, то объем тела может быть найден по формуле:
при этом z1 и z2 – функции от х и у или постоянные, у1 и у2 – функции от х или постоянные, х1 и х2 – постоянные.
Скачать все slide презентации Кратные интегралы. (Лекция 3) одним архивом:
