Презентация Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4) онлайн
На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4) абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 32 слайда. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
- Тип файла:ppt / pptx (powerpoint)
- Всего слайдов:32 слайда
- Для класса:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Размер файла:2.01 MB
- Просмотров:187
- Скачиваний:2
- Автор:неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
Содержание слайда: Несобственные интегралы. Приложения определенного интеграла.
Приближенное вычисление
определенного интеграла
Лекция № 4
№2 слайд
Содержание слайда: Несобственные интегралы.
Несобственный интеграл I - ого рода (с бесконечными пределами интегрирования).
Опр. Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a; +). Несобственным интегралом первого рода от функции f(x) на промежутке [a; +) называется предел
если он существует и конечен.
Обозначается несобственный интеграл символом
№3 слайд
Содержание слайда: Несобственные интегралы.
Вводя понятие определенного интеграла, мы предполагали, что отрезок интегрирования конечен, а подынтегральная функция ограничена на этом отрезке. Рассмотрим случаи, когда хотя бы одно из этих условий не выполняется.
№4 слайд
Содержание слайда: Несобственные интегралы.
Если непрерывная функция на промежутке [a; +) и интеграл сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.
№5 слайд
Содержание слайда: Несобственные интегралы.
Если указанный предел существует, то интеграл называется сходящимся, в противном случае интеграл называется расходящимся.
Аналогичным образом определяются еще два вида несобственных интегралов первого рода:
где – произвольное число. В этом случае интеграл сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа.
№6 слайд
Содержание слайда: Пример
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость
Решение. По определению имеем
Ответ: интеграл сходится.
№7 слайд
Содержание слайда: Пример
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
а) = = | =
= ⎼ | = ⎼ ⎼ 1) = 1, интеграл сходится.
б) = | = ) = ⎼ ,
но предел не существует, значит, интеграл расходится.
№8 слайд
Содержание слайда: Пример
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
в) = = | =
= ⎼ ) = =
значит, интеграл расходится.
= =
Если , то интеграл сходится.
Если , то интеграл расходится.
№9 слайд
Содержание слайда: Признаки сходимости несобственных интегралов первого рода.
Первый признак сравнения.
Теорема 1. Если на промежутке [a; +) непрерывные функции и g удовлетворяют условию
≤ g, то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .
Пример. .
Решение. Сравним: < при 1 ≤ ≤ . Так как сходится, то сходится и искомый интеграл по признаку сравнения.
№10 слайд
Содержание слайда: Признаки сходимости несобственных интегралов первого рода.
Второй признак сравнения.
Теорема 2. Если существует предел = k
(0< k< > 0 и g > 0), то интегралы и одновременно оба сходятся или оба расходятся.
№11 слайд
Содержание слайда: 2) Несобственные интегралы II - ого рода (интегралы от неограниченных (разрывных) функций).
Опр. Пусть функция f(x) непрерывна на полуинтервале [a; b) и имеет бесконечный разрыв при = b. Если существует конечный предел то его называют несобственным интегралом II - ого рода и обозначают .
Таким образом, по определению,
=
№12 слайд
Содержание слайда: Несобственные интегралы II - ого рода (интегралы от неограниченных (разрывных) функций).
Аналогично: 1) если функция f(x) терпит разрыв в точке
= a, то полагают =
2) если функция f(x) терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [a; bинтеграл II - ого рода определяется формулой
=
Пример. Вычислить . Решение:
Решение.
№13 слайд
Содержание слайда: Признаки сходимости несобственных интегралов второго рода.
Первый признак сравнения.
Теорема 1. Если на полуинтервале [a; b) функции и g непрерывны, удовлетворяют условию
≤ g и при = b терпят бесконечный разрыв. Тогда из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .
№14 слайд
Содержание слайда: Признаки сходимости несобственных интегралов второго рода.
Второй признак сравнения.
Теорема 2. Пусть функции и g непрерывны на полуинтервале [a; b) и терпят разрыв в точке = b. Если существует предел = k (0< k< > 0 и g > 0), то интегралы и одновременно оба сходятся или оба расходятся.
№15 слайд
Содержание слайда: Пример.
Установить сходимость интеграла: .
Решение.
Интеграл расходится:
№16 слайд
Содержание слайда: Пример.
Вычислить или установить расходимость интеграла – число.
Решение. = - особая точка. = =
= ) =
=
Аналогично: 1) интеграл сходится при и расходится при
№17 слайд
Содержание слайда: Пример.
Интеграл расходится, так как
Интеграл сходится, так как .
Интеграл
(= = 0 – точка разрыва, > 0)
расходится при
и сходится при .
№18 слайд
Содержание слайда: Геометрические приложения определенного интеграла.
Вычисление площадей плоских фигур.
а) в прямоугольных координатах:
Если непрерывная кривая задана уравнением и ≥ 0, то площадь фигуры равна S =
Если < 0, то площадь фигуры равна
S = ⎼
Или две формулы можно объединить в одну:
S = |
№19 слайд
Содержание слайда: Пример.
Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции при
Решение.
S = + = ⎼
= ⎼ ( ⎼ ) + ( ⎼ ) = (кв. ед.).
№20 слайд
Содержание слайда: Геометрические приложения определенного интеграла.
Если фигура ограничена сверху кривой , а снизу – кривой , где ≤ , то площадь фигуры равна
S =
№21 слайд
Содержание слайда: Площадь плоской фигуры
Если криволинейная трапеция ограничена прямыми с, d, осью Ои непрерывной кривой = ), где ) ≥ 0, то площадь равна
S =
№22 слайд
Содержание слайда: Площадь плоской фигуры
Если кривая задана параметрическими уравнениями = (t), (t), t [α; β], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми = , = и отрезком [; ] оси Овыражается формулой
где α и β определяются из равенств:
(α) = , (β) = .
№23 слайд
Содержание слайда: Пример
Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом
= ,
Решение. Найдем сначала S.
Так как 0 ≤ ≤ , то ≤ ≤ 0. Найдем () = ⎼ . Тогда S = ⎼ = ⎼ =
= ⎼ =⎼ ( ⎼ ) =
=⎼ (⎼ ⎼ 0) = S = .
№24 слайд
Содержание слайда: Площадь плоской фигуры
б) в полярных координатах:
Площадь криволинейного сектора, ограниченного непрерывной кривой, заданной в полярных координатах уравнением r = r(φ) и двумя лучами φ = и φ = ( < ) находится по формуле:
S = ,
где = – дифференциал равен площади кругового сектора ОАС радиуса r с центральным углом φ.
№25 слайд
Содержание слайда: II. Вычисление дуги плоской кривой
а) в прямоугольных координатах
Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена стремится к нулю.
Если кривая на отрезке [a; b] гладкая (т.е. ее производная непрерывна), то длина дуги этой кривой равна:
№26 слайд
Содержание слайда: II. Вычисление дуги плоской кривой
б) Если уравнение кривой АВ задано параметрическими уравнениями = (t), (t), t [α; β], где (t) и (t) – непрерывные функции с непрерывными производными и (α) = , (β) = , то длина дуги равна
в) Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением r = r(φ), где ≤φ ≤, то длина дуги равна
№27 слайд
Содержание слайда: III. Вычисление объема тела
№28 слайд
Содержание слайда: III. Вычисление объема тела
(1)
Пример.
№29 слайд
Содержание слайда: Пример
Найти длину кривой от = 0 до = 1
( ≥ 0).
№30 слайд
Содержание слайда: Пример.
Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой
= 2.
Решение.
№31 слайд
Содержание слайда: Пример.
Найти площадь фигуры, ограниченной параболой , прямыми = 0, = 1 и осью О.
Решение. S =⎼
№32 слайд
Содержание слайда: Пример.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение. Найдем точки пересечения графиков заданных функций: = , откуда = 1, = 2. Искомая площадь:
S =
Скачать все slide презентации Несобственные интегралы. Приложения определённого интеграла. (Лекция 4) одним архивом:
