Презентация Математический анализ. Определенный интеграл онлайн
На нашем сайте вы можете скачать и просмотреть онлайн доклад-презентацию на тему Математический анализ. Определенный интеграл абсолютно бесплатно. Урок-презентация на эту тему содержит всего 260 слайдов. Все материалы созданы в программе PowerPoint и имеют формат ppt или же pptx. Материалы и темы для презентаций взяты из открытых источников и загружены их авторами, за качество и достоверность информации в них администрация сайта не отвечает, все права принадлежат их создателям. Если вы нашли то, что искали, отблагодарите авторов - поделитесь ссылкой в социальных сетях, а наш сайт добавьте в закладки.
Оцените презентацию от 1 до 5 баллов!
- Тип файла:ppt / pptx (powerpoint)
- Всего слайдов:260 слайдов
- Для класса:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
- Размер файла:1.71 MB
- Просмотров:73
- Скачиваний:0
- Автор:неизвестен
Слайды и текст к этой презентации:
№1 слайд
Содержание слайда: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
2 семестр
№2 слайд
Содержание слайда: ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Даны:
- отрезок [a,b],
- неотрицательная функция f(x)
Криволинейная трапеция
Площадь?
№3 слайд
Содержание слайда:
№4 слайд
Содержание слайда: 4 шага:
Разбить отрезок.
Выбрать точки.
Интегральная сумма.
Перейти к пределу.
№5 слайд
Содержание слайда: a=x0<x1<…<xn=b,
xi=xixi1 (i=1,2,…,n)
2. 1[x0,x1], 2[x1,x2],…, n[xn1,xn]
3. Интегральная сумма
f(1)x1+ f(2)x2+…+f(n)xn
№6 слайд
Содержание слайда: 4. =max{xi}
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если предел интегральных сумм
№7 слайд
Содержание слайда: при 0 существует, то он называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b], обозначается
В этом случае функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a,b].
№8 слайд
Содержание слайда: Особенность предела!
Пример интегрируемой функции: f(x)=с.
Замечание. Если функция интегрируемая, то она ограниченная. Обратное неверно (функция Дирихле)
№9 слайд
Содержание слайда: Много ли интегрируемых функций?
ТЕОРЕМА 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она
интегрируема на этом отрезке
ТЕОРЕМА 2. Монотонная ограниченная функция является интегрируемой.
.
№10 слайд
Содержание слайда: СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
1. (договоренность)
2. (договоренность)
№11 слайд
Содержание слайда: 3. (линейность) Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a,b], то функция
сf(x)+dg(x) также интегрируема на [a,b], причем
№12 слайд
Содержание слайда: 4. Произведение интегрируемых функций интегрируемая функция. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕ СУЩЕСТВУЕТ!
5. Если функция f(x) интегрируема на [a,b], то она интегрируема и на [с,d] [a,b].
№13 слайд
Содержание слайда: 6. (аддитивность) Если функция f(x) интегрируема на [a,c] и [c,b] , то она интегрируема и на [a,b]. При этом
Формула справедлива при любом расположении точек a, b, c
№14 слайд
Содержание слайда: ОЦЕНКИ ИНТЕГРАЛОВ
Если f(x)0 на [a,b] и интегрируемая, то
2. Если f(x)m на [a,b] и интегрируемая, то
№15 слайд
Содержание слайда: 3. Если непрерывная функция f(x)0 на [a,b] и f(x)>0 в некоторой точке, то
4. Если f(x) и g(x) интегрируемые на [a,b] и
f(x)g(x), то
№16 слайд
Содержание слайда: 5. Если функция f(x) интегрируемая на [a,b], то |f(x)| также интегрируема и
№17 слайд
Содержание слайда: 6. Пусть f(x) и g(x) интегрируемые на [a,b], f(x)0 и m g(x)M. Тогда
№18 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 3 (о среднем значении).
Пусть f(x) интегрируемая на [a,b]
и m f(x)M.
Существует число [m,M], для которого
Геометрический смысл
№19 слайд
Содержание слайда: СЛЕДСТВИЕ. Если дополнительно функция f(x) непрерывна на [a,b], то существует число [a,b], для которого
№20 слайд
Содержание слайда: ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ
№21 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 4. Функция F(x) непрерывная.
ТЕОРЕМА 5. Если функция f(x) непрерывная, то функция F(x) дифференцируемая, причем F (x)=f(x).
№22 слайд
Содержание слайда: СЛЕДСТВИЕ. (Формула Ньютона-Лейбница)
Если функция f(x) непрерывная на [a,b] и (x) – первообразная f(x), то
№23 слайд
Содержание слайда: a=0, b=/2
№24 слайд
Содержание слайда: ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
ТЕОРЕМА 6. Пусть
Тогда
№25 слайд
Содержание слайда: ПРИМЕРЫ
1.
2.
№26 слайд
Содержание слайда: ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
ТЕОРЕМА 7. Пусть функции u(x), v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b].
Тогда
№27 слайд
Содержание слайда: ПРИМЕРЫ
№28 слайд
Содержание слайда: ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Длина дуги кривой
t - параметр
Функции непрерывные!
Если разным значениям параметра соответствуют разные точки плоскости, то дуга называется простой.
№29 слайд
Содержание слайда: ЗАМЕЧАНИЯ
1. Входят кривые, заданные уравнениями
y=f(x).
2. Параметр не единственный! Непрерывная монотонная функция u(t), u – тоже параметр
№30 слайд
Содержание слайда: Строфоида
Простые дуги на множествах t<0, t>0
№31 слайд
Содержание слайда: Пространственные кривые
Пример
x=r sin t, y=r cos t, z=ct
№32 слайд
Содержание слайда: Длина дуги. Диагональ квадрата
Вписанная ломаная x=(t), y=(t)
№33 слайд
Содержание слайда: Шаг разбиения =max{ti}
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Предел длин вписанных ломаных при 0, если он существует, называется длиной дуги, дуга в этом случае называется спрямляемой.
№34 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 8 (Достаточные условия спрямляемости. Вычисление длины дуги)
Пусть функции x=(t), y= (t) имеют непрерывные производные на отрезке [,].
Тогда дуга спрямляемая, ее длина
Для дуги пространственной кривой - аналогично
№35 слайд
Содержание слайда: Если дуга спрямляемая, то длина не зависит от параметризации непрерывно дифференцируемой функцией.
Если спрямляемая кривая разбита на части, то каждая часть спрямляемая и длина всей дуги равна сумме длин частей.
Пусть l=l(t) – длина дуги кривой от до t.
l – параметр (натуральный)
№36 слайд
Содержание слайда: Для кривой y=f(x)
Для кривой, заданной в полярных координатах уравнением r() (1 2)
№37 слайд
Содержание слайда: Дифференциал дуги
Для пространственной кривой
№38 слайд
Содержание слайда: Примеры вычисления длины дуги.
1. Циклоида
2. Цепная линия
[0,a]
3. Длина дуги эллипса
№39 слайд
Содержание слайда: ПЛОШАДЬ ПЛОСКИХ ФИГУР
1. Криволинейная трапеция
№40 слайд
Содержание слайда: 2. Криволинейный сектор
№41 слайд
Содержание слайда: Примеры
1. y=x2, [0,1]
2.
№42 слайд
Содержание слайда: 3. Трилистник
№43 слайд
Содержание слайда: ОБЪЕМ ТЕЛ
Объем аддитивен
Объем единичного кубика 1
ОТСЮДА
Объем цилиндрического тела V=Sh
№44 слайд
Содержание слайда: S(x) – площадь сечения
№45 слайд
Содержание слайда: Объем тела вращения
Криволинейная трапеция
axb, 0yf(x), f(x) – непрерывная функция
Тело получено вращением трапеции вокруг оси абсцисс
№46 слайд
Содержание слайда: ПРИМЕРЫ
1. y=sin x на [0,]
2. Астроида
№47 слайд
Содержание слайда: ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
№48 слайд
Содержание слайда: Площадь боковой поверхности конического тела
li=
№49 слайд
Содержание слайда: ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Площадью поверхности вращения называется
=max{xi}
№50 слайд
Содержание слайда: При параметрическом задании
№51 слайд
Содержание слайда: ПРИМЕРЫ
1.
2. Циклоида
№52 слайд
Содержание слайда: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Обобщение интеграла на бесконечные промежутки и неограниченные функции
1 рода
Пусть функция f(x)
определена на [a,)
интегрируемая на [a,b]
№53 слайд
Содержание слайда: ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Несобственным интегралом 1 рода называется
Если предел не существует, то интеграл расходится
№54 слайд
Содержание слайда: Примеры
№55 слайд
Содержание слайда: Аналогично
Если f(x) непрерывна на всей прямой, то
№56 слайд
Содержание слайда: Достаточное условие сходимости НИ 1 рода
ТЕОРЕМА 9. Если f(x)0, интегрируема на [a,b] при любом b>a и
то
сходится.
№57 слайд
Содержание слайда: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2 РОДА
№58 слайд
Содержание слайда: ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Несобственным интегралом 2 рода называется
Обозначение
Если предел не существует, то интеграл расходится.
№59 слайд
Содержание слайда: Аналогично, если особая точка – левый конец промежутка.
ПРИМЕР.
№60 слайд
Содержание слайда: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Числовая последовательность
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Числовым рядом называется символ
№61 слайд
Содержание слайда: Частичные суммы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Числовой ряд сходится, если существует
S – сумма ряда
Если предел не существует, то ряд расходится.
№62 слайд
Содержание слайда: ПРИМЕРЫ
1.
11+11+…
2.
3.
№63 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 10 (необходимый признак сходимости ряда).
Если ряд сходится, то ui 0.
ПРИМЕР.
№64 слайд
Содержание слайда: ЗАМЕЧАНИЯ.
1.
3.Сумма сходящихся рядов сходящийся ряд.
№65 слайд
Содержание слайда: РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
ТЕОРЕМА 11. Для сходимости ряда с положительными членами необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы были ограничены.
ТЕОРЕМА 12. (признак сравнения) Пусть
и -
ряды с положительными членами, причем
Если сходится ряд , то сходится и ряд
Если расходится ряд , то расходится и ряд
№66 слайд
Содержание слайда: ЗАМЕЧАНИЯ.
1. То же самое справедливо, если при некотором c>0.
2. Неравенство может выполняться начиная с некоторого i.
№67 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 13. (предельный признак сравнения)
Если , - ряды с положительными
членами, причем
существует
то ряды сходятся или расходятся одновременно.
№68 слайд
Содержание слайда: ПРИМЕРЫ
1.
2.
№69 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 14. (Признак Даламбера)
1. Если члены ряда положительные и
начиная с некоторого номера
то ряд сходится (расходится)
№70 слайд
Содержание слайда: 2. Если существует предел
то при L<1 ряд сходится,
при L>1 ряд расходится
№71 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 15. (Признак Коши)
1. Если начиная с некоторого номера
то ряд сходится (расходится).
2. Если существует предел
то при L<1 ряд сходится,
при L>1 ряд расходится
№72 слайд
Содержание слайда: ПРИМЕРЫ
1.
2.
№73 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 16. (Интегральный признак сходимости).
Пусть неотрицательная функция f(x) является невозрастающей на множестве [1,+).
Ряд и
сходятся или расходятся одновременно.
№74 слайд
Содержание слайда: ПРИМЕРЫ
1.
2.
№75 слайд
Содержание слайда: Для произвольных рядов – критерий Коши
(следствие критерия для последовательностей)
ТЕОРЕМА 17. Для сходимости ряда
необходимо и достаточно, чтобы
№76 слайд
Содержание слайда: Знакопеременные ряды
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Числовой ряд
называется абсолютно сходящимся, если
сходится ряд
№77 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 18. Если ряд сходится абсолютно, то ряд сходится.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Сходящийся ряд
сходится условно, если ряд расходится.
№78 слайд
Содержание слайда: Перестановки ряда
ТЕОРЕМА 19. (Коши) Перестановка любого абсолютно сходящегося ряда – абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда.
ТЕОРЕМА 20. (Риман) Если ряд сходится условно, то для любого L существует перестановка ряда, сумма которой равна L.
№79 слайд
Содержание слайда: Знакочередующийся ряд
ТЕОРЕМА 21. (Признак Лейбница) Если ряд
удовлетворяет условиям
-
последовательность
убывает и является бесконечно малой,
то он сходится
№80 слайд
Содержание слайда: Пример
Следствие. Для ряда лейбницевского типа
Отсюда, для любого k
№81 слайд
Содержание слайда: ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
Функциональная последовательность
Функциональный ряд
Определены на множестве X
№82 слайд
Содержание слайда: ПРИМЕРЫ
1.
2. Ряд
№83 слайд
Содержание слайда: Область сходимости
Предельная функция для последовательности
Сумма функционального ряда
Предельная функция для примера 1.
ex cумма ряда их примера 2
№84 слайд
Содержание слайда: Равномерная сходимость
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Функциональная последовательность
равномерно сходится к функции f(x) на множестве X, если
Для рядов аналогично
№85 слайд
Содержание слайда: Пример 1 – не равномерная сходимость
ТЕОРЕМА 22. (Критерий Коши равномерной сходимости функц. последовательностей)
Для равномерной сходимости функц. последовательности на множестве X необходимо и достаточно выполнение следующего условия:
№86 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 23. (Критерий Коши равномерной сходимости функц. рядов)
Для равномерной сходимости функц. ряда на множестве X необходимо и достаточно выполнение следующего условия:
№87 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 24. (Признак Вейерштрасса)
Если для функционального ряда
существует сходящийся числовой ряд
такой, что при всех x то функц. ряд сходится равномерно.
МАЖОРАНТА
№88 слайд
Содержание слайда: ПРИМЕР
Признак Вейерштрасса ДОСТАТОЧНЫЙ, НО НЕ НЕОБХОДИМЫЙ.
ПРИМЕР.
№89 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 25. Пусть последовательность НЕПРЕРЫВНЫХ функций
сходится равномерно на отрезке [a,b] к функции f(x).
Тогда функция f(x) также НЕПРЕРЫВНАЯ.
Для рядов аналогично.
Условие ДОСТАТОЧНОЕ, не НЕОБХОДИМОЕ
№90 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 26. Пусть последовательность НЕПРЕРЫВНЫХ функций
сходится РАВНОМЕРНО на отрезке [a,b] к функции f(x).
Тогда последовательность
сходится равномерно на отрезке [a,b] к функции
№91 слайд
Содержание слайда: Для всего промежутка
Для рядов
№92 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 27. Пусть функции fn(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a,b], причем
последовательность производных fn(x) РАВНОМЕРНО сходится (к функции g(x)),
При некотором c[a,b] последовательность {fn(c)} сходится.
ТОГДА
последовательность {fn(x)} сходится равномерно (к функции G(x)),
функция G(x) дифференцируемая и G (x)=g(x).
№93 слайд
Содержание слайда: Иная форма записи:
Для рядов: при соответствующих условиях
№94 слайд
Содержание слайда: СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Степенным рядом называется функциональный ряд вида
Далее будем рассматривать случай x0=0.
№95 слайд
Содержание слайда: Область сходимости степенного ряда
Всегда сходится в 0.
Может сходиться только в 0
Может сходиться абсолютно при любом x
№96 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 28. Пусть степенной ряд сходится при некотором x0 и сходится. не всюду Существует такое число R>0 (радиус сходимости), для которого ряд сходится абсолютно при |x|<R и расходится при |x|>R .
Если сходится всюду, то полагают R=.
№97 слайд
Содержание слайда: Основа доказательства:
Если ряд сходится, то при
|x1|<|x0| ряд сходится абсолютно.
R=sup{x: ряд сходится}
Концы промежутка???
№98 слайд
Содержание слайда: Для нахождения радиуса сходимости можно использовать признаки Даламбера и Коши
ПРИМЕР.
№99 слайд
Содержание слайда: СВОЙСТВА СУММЫ СТЕПЕННОГО РЯДА
ТЕОРЕМА 29. Пусть R>0 радиус сходимости степенного ряда, число
r(0, R). На отрезке [r, r] степенной ряд сходится равномерно.
СЛЕДСТВИЕ. Сумма степенного ряда непрерывна на интервале (R, R).
№100 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 30. Пусть R>0 радиус
сходимости степенного ряда
Радиус сходимости степенных рядов
№101 слайд
Содержание слайда: полученных почленным дифференцированием и интегрированием исходного ряда, также равен R.
№102 слайд
Содержание слайда: РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННОЙ РЯД
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12. Говорят, что функция f(x) разлагается в степенной ряд на интервале (R, R), если существует степенной ряд, сумма которого на этом интервале равна f(x).
Функция, которая разлагается в степенной ряд, называется аналитической на (R, R).
№103 слайд
Содержание слайда: СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Аналитическая функция имеет непрерывные производные любого порядка.
УСЛОВИЕ НЕОБХОДИМОЕ, НО НЕ ДОСТАТОЧНОЕ!
2. Если функция аналитическая, то коэффициенты степенного ряда определяются однозначно.
№104 слайд
Содержание слайда: Если на (R, R),
то
№105 слайд
Содержание слайда: Ряд называется рядом
Тэйлора (или Маклорена) функции f(x).
№106 слайд
Содержание слайда: Когда
на области сходимости ряда?
№107 слайд
Содержание слайда: Формула Тейлора
Необходимое и достаточное условие:
при всех x из интервала сходимости.
№108 слайд
Содержание слайда: Остаточный член в форме Лагранжа:
№109 слайд
Содержание слайда: для всякого x (можно рассмотреть ряд)
ТЕОРЕМА 31. Если для каждого x из интервала существует число M, для которого
то функция аналитическая.
№110 слайд
Содержание слайда: По этому признаку при x(,)
№111 слайд
Содержание слайда: Вычисления
Интегралы (считаем, что при t=0)
№112 слайд
Содержание слайда: Можно доказать: при x(1,1)
№113 слайд
Содержание слайда: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Рассматриваем функции, определенные на области X плоскости или пространства (R2, R3)
f: XR.
Обозначения: f(M) (MX) или f(x,y), f(x1,x2), f(x,y,z), f(x1,x2,x3)
№114 слайд
Содержание слайда: Окрестности точки M=(x1,x2,x3)X:
шары {NX:(N, M)<} или
параллелепипеды {(y1,y2,y3)X:|yi xi|<}
№115 слайд
Содержание слайда: ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13. Точка M называется внутренней точкой множества X , если она принадлежит X вместе с НЕКОТОРОЙ окрестностью.
Точка M называется внешней точкой множества X , если НЕКОТОРАЯ ее окрестность не пересекается с X.
Точка M называется граничной точкой множества X, если она не является ни внутренней, ни внешней.
№116 слайд
Содержание слайда: Иначе. Точка граничная, если в ЛЮБОЙ ее окрестности есть как точки, входящие в X, так и точки, не входящие в X.
Граничные точки множества и его дополнения совпадают.
№117 слайд
Содержание слайда: ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14. Множество X называется открытым, если все его точки внутренние (не содержит граничных точек).
Множество X называется замкнутым, если в него входят все граничные точки.
ТЕОРЕМА 32. Дополнение открытого множества замкнутое.
Дополнение замкнутого множества открытое.
№118 слайд
Содержание слайда: ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором круге (шаре).
(Непрерывная) кривая - вспомним!
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 16. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить кривой.
№119 слайд
Содержание слайда: ОПРЕДЕЛЕНИЕ 17. Последовательность точек M1, M2,…, Mn,… в Rk называется сходящейся, если существует точка ARk такая, что
A – предел последовательности, MnA
№120 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 33. Для того, чтобы
необходимо и достаточно выполнение
условий
Предел последовательности если существует, то единственный.
№121 слайд
Содержание слайда: ОПРЕДЕЛЕНИЕ 18. Последовательность точек M1, M2,…, Mn,… в в Rk называется фундаментальной, если
№122 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 34. (Критерий Коши) Сходимость последовательности точек в Rk равносильна ее фундаментальности.
№123 слайд
Содержание слайда: НАПОМИНАНИЕ. Множество XRk ограниченное, если оно содержится в некотором шаре, т.е. для некоторого числа A
(MX) ((O, M)<A)
Равносильно с параллелепипедом
Сходящаяся последовательность ограничена.
№124 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 35. (Больцано-Вейерштрасса)
Из любой ограниченной последовательности точек в Rk можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
№125 слайд
Содержание слайда: ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.
Число b - предел функции f(M) в точке A, если из того, что MnA (Mn A) следует, что f(Mn) b.
Число b - предел функции f(M) в точке A, если
№126 слайд
Содержание слайда: ОБОЗНАЧЕНИЯ
№127 слайд
Содержание слайда: ПРЕДЕЛ НА БЕСКОНЕНОСТИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 21. Число b - предел функции f(M) на бесконечности, если
№128 слайд
Содержание слайда: Арифметические операции
Если b=0, то функция бесконечно малая в точке M.
ПРИМЕР.
(x1)p+(y2)q при p,q>0 – бесконечно малая в точке (1,2).
№129 слайд
Содержание слайда: ОПРЕДЕЛЕНИЕ 22.
1. Функция f(M) называется непрерывной в точке A, если
2. Функция f(M) называется непрерывной в точке A, если
№130 слайд
Содержание слайда: Функция называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Пусть u=f(M). Приращение функции в точке A:
u=f(M)f(A)
A=(a1, a2), M=(a1+x1, a2+x2)
u=f(a1+x1, a2+x2)f(a1, a2)
№131 слайд
Содержание слайда: Разностная форма непрерывности:
№132 слайд
Содержание слайда: Частные приращения:
№133 слайд
Содержание слайда: СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУННКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ТЕОРЕМА 36.
Если функции f(M) и g(M) непрерывны в точке A, то функции f(M)g(M), f(M)g(M), f(M)/g(M) непрерывны в точке A (отношение при g(A)0).
№134 слайд
Содержание слайда: Сложная функция.
Дано: f(x1, x2, x3),
g(t1, t2)=(x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2))
Определена функция
h(t1, t2)=f(x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2))
g:R2R3, h:R3R
h=g◦f – композиция, суперпзиция
№135 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 37.
Если функции
x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2) непрерывны в точке (b1, b2),
функция f(x1, x2, x3) непрерывна в точке
a1= x1 (b1, b2), a2= x2 (b1, b2), a3= x3 (b1, b2),
ТО
функция h(t1, t2) непрерывна в точке
(b1, b2).
№136 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 38. (Устойчивость знака)
Если функция f(M) непрерывна в точке A и f(A)0, то существует окрестность точки A, в которой функция сохраняет знак.
№137 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 39.(Аналог теоремы о промежуточном значении)
Пусть функция f(M) непрерывна на СВЯЗНОМ множестве X; A,BX. Для любого числа a, расположенного между f(A) и f(B), существует точка CX, для которой f(C)=a.
№138 слайд
Содержание слайда: ОПРЕДЕЛЕНИЕ 23. Замкнутое и ограниченное множество называется компактным.
№139 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 39. (Теорема Вейерштрасса) Функция, непрерывная на компактном множестве, ограниченная и достигает наибольшего и наименьшего значений.
№140 слайд
Содержание слайда: ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Пусть точка M(x,y) является внутренней точкой области определения функции f(x,y)
Отношения
№141 слайд
Содержание слайда: Вспомним производные!
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 24. Частной производной функции f(x,y) в точке M(x,y) по переменной x называется
если предел существует.
Аналогично по y
№142 слайд
Содержание слайда: Обозначения:
Примеры
1.
2.
№143 слайд
Содержание слайда: ОПРЕДЕЛЕНИЕ 25. Функция f(x,y) называется дифференцируемой в точке (x,y), если
f(x,y)=f(x+x,y+y)f(x,y)=
=Ax+By+1x+2y
A,B НЕ ЗАВИСЯТ от x,y
limx0, y0 1=limx0, y0 2=0
1,2=0 при x=y=0
№144 слайд
Содержание слайда: Другая форма записи.
f(x,y)=Ax+By+о()
ЗАМЕЧАНИЕ. Из дифференцируемости следует непрерывность.
№145 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 40. Если функция f(x,y) дифференцируема в точке M(x,y), то в этой точке существуют частные производные, причем
ОБРАТНОЕ НЕВЕРНО!
№146 слайд
Содержание слайда: u(x,y) – график – поверхность.
Что такое «касательная плоскость к поверхности»?
На поверхности – точка N0=(x0,y0,u0)
№147 слайд
Содержание слайда: ОПРЕДЕЛЕНИЕ 26. Плоскость , проходящая через точку N0, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между этой плоскостью и прямой, проходящей через точку N0 поверхности и любую точку поверхности N1(x,y,u) N0, стремится к 0 при N1N0
№148 слайд
Содержание слайда:
№149 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 41. Если функция u(x,y) дифференцируема в точке (x0,y0), то касательная плоскость к графику функции в точке N0 существует и задается уравнением
№150 слайд
Содержание слайда: Нормальный вектор к плоскости
№151 слайд
Содержание слайда: Плоскость проходит через точку N0 .
№152 слайд
Содержание слайда: Достаточное условие дифференцируемости
ТЕОРЕМА 42. Если функция f(x,y) имеет НЕПРЕРЫВНЫЕ частные производные в окрестности точки (x,y), то функция в этой точке дифференцируема.
№153 слайд
Содержание слайда: ОПРЕДЕЛЕНИЕ 27. Дифференциалом (полным) дифференцируемой функции f(x,y) в точке (x,y) называется
Частные дифференциалы:
№154 слайд
Содержание слайда: Дифференцирование сложной функции
Дано: f(x1, x2, x3),
g(t1, t2)=(x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2))
Определена функция
h(t1, t2)=f(x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2))
g:R2R3, f:R3R
h=g◦f – композиция, суперпозиция
№155 слайд
Содержание слайда: Точка AR2, B=g(A)R3
ТЕОРЕМА 43.
Пусть
- функции xi(t1, t2) (i=1,2,3) дифференцируемы в точке A,
- функция f дифференцируема в точке B.
ТОГДА
функция h дифференцируема в точке A,
№156 слайд
Содержание слайда: ее частные производные равны
№157 слайд
Содержание слайда: ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПЕРВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА
h(u,v)=f(x(u,v), y(u,v))
u,v – независимые переменные
№158 слайд
Содержание слайда: ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
d(cu)=cdu
d(uv)=dudv
d(uv)=udv+vdu
d(u/v)=(vduudv)/v2
№159 слайд
Содержание слайда: ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
f(x, y, z)
M0(x0,y0,z0)
Вектор l=(cos , cos , cos ) – единичный
Отложим отрезок длины t
Получим точку
M(x0+tcos ,y0+tcos ,z0+tcos )
g(t) =f(M)
№160 слайд
Содержание слайда: ОПРЕДЕЛЕНИЕ 28. Производной функции f(x, y, z) в точке M0 по направлению вектора l называется производная g(t) при t=0, если она существует.
Обозначение:
№161 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 44. Если функция f(x, y, z) дифференцируема в точке M0 , то производная по любому направлению существует.
№162 слайд
Содержание слайда: ОПРЕДЕЛЕНИЕ 29. Градиентом дифференцируемой функции f(x, y, z) в точке M0 называется вектор
Градиент – направление наискорейшего возрастания функции, скорость – модуль градиента.
№163 слайд
Содержание слайда: Для двух переменных
№164 слайд
Содержание слайда: ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Производные
Пример: f(x, y) =xy
Определяются индуктивно
№165 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 45. Если смешанные производные
непрерывны, то они равны.
СЛЕДСТВИЕ. Смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования, если они непрерывны.
№166 слайд
Содержание слайда: ОПРЕДЕЛЕНИЕ 30. Функция f(x,y,z) называется n раз дифференцируемой, если все ее частные производные (n1)-го порядка дифференцируемые.
№167 слайд
Содержание слайда: ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 31. Дифференциалом второго порядка функции f(x,y) называется
d2f(x,y)=d(df(x,y)).
№168 слайд
Содержание слайда:
№169 слайд
Содержание слайда: x,y НЕЗАВИСИМЫЕ
dx, dy тоже
Тогда
Неинвариантность формы второго дифференциала
№170 слайд
Содержание слайда: Индуктивно – дифференциалы более высоких порядков.
Оператор
№171 слайд
Содержание слайда: ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Для одной переменной
(n+1) раз дифференцируемая функция F(t) на интервале, содержащем отрезок [0,1].
№172 слайд
Содержание слайда: Дано:
функция f(x,y), (n+1) раз дифференцируемая в окрестности U точки M0(x0,y0)
точка M(x0+x,y0+y) в этой окрестности.
F(t)=f(x0+tx,y0+ty)
То же для функции любого числа переменных.
№173 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 46. Существует точка NU, для которой справедливо равенство
Все дифференциалы вычисляются при dx=x, dy=y.
№174 слайд
Содержание слайда: В форме Пеано:
№175 слайд
Содержание слайда: ЛОКАЛЬНЫЕ ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 32. Функция f(M) (MRn) имеет в точке M0 локальный минимум (максимум), если существует такая окрестность точки M0 в пределах которой f(M)f(M0) (f(M)f(M0)).
Локальные экстремумы это локальные максимумы и минимумы.
№176 слайд
Содержание слайда: КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 33. Пусть A – квадратная симметрическая матрица n-го порядка. Функция вида
называется квадратичной формой.
№177 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 47. Если функция f(M) (MRn) имеет в точке M0
-все частные производные
- локальный экстремум,
то
ОБРАТНОЕ НЕВЕРНО! Примеры: u=x2+y2+z2, u=x2+y2z2
Cтационарные (критические) точки.
№178 слайд
Содержание слайда: ВИДЫ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
1. Положительно определенные.
F(M)>0 при M=(x1,…, xn)0
Пример: F(x1, x2)=x12+x22
2. Отрицательно определенные.
F(M)<0 при M=(x1,…, xn)0
Пример: F(x1, x2)=x12x22
ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫЕ
№179 слайд
Содержание слайда: 3. Знакопеременная
F(M)>0 при некотором MRn
F(N)<0 при некотором NRn
Пример: F(x1, x2)=x12x22
4. Квазизнакоопределенные
F(M)0 (F(M)0) при всех M и F(M)=0 при некотором M0
Пример: F(x1, x2)=x12+x222x1x2
№180 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 48. Для положительно определенной квадратичной формы F(x1,x2,…, xn) существует положительное число m такое, что
F(x1,x2,…, xn)m(x12 +x22+…+xn2 )
Для отрицательно определенных
F(x1,x2,…, xn) m(x12 +x22+…+xn2 )
№181 слайд
Содержание слайда: Функция f (x1,x2,…, xn) трижды дифференцируемая в точке M0.
Квадратичная форма относительно
(dx1,dx2,…,dxn)
№182 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 49. Пусть функция f(M) трижды дифференцируемая в окрестности стационарной точки M0.
Если форма
- положительно определенная, то в точке M0 локальный минимум.
- отрицательно определенная, то в точке M0 локальный максимум.
- знакопеременная, то в точке M0 локального экстремума нет.
№183 слайд
Содержание слайда: КРИТЕРИЙ СИЛЬВЕСТРА
№184 слайд
Содержание слайда: Угловые миноры
Если 1>0, 2>0,…, n>0, то кв. форма положительно определенная
Если 1<0, 2>0, 3<0, 4>0,…, то форма отрицательно определенная
№185 слайд
Содержание слайда: Случай двух переменных
f(x,y), M0, df=0
ТЕОРЕМА 50. Если AC B2>0, то функция f(x,y) имеет в точке M0 локальный экстремум (минимум при A>0, максимум при A<0)
Если AC B2<0, то функция f(x,y) не имеет в точке M0 локального экстремума.
№186 слайд
Содержание слайда: Во втором случае:
Форма Ax2+2Bxy+Cy2
A>0
При x=1, y=0 форма положительная
При x=B/A, y=1 форма отрицательная
№187 слайд
Содержание слайда: ПРИМЕР
f(x,y)=x2+y22x2y
№188 слайд
Содержание слайда: НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
Задано уравнение F(x,y,z)=0
Например, x2+y2+z21=0
z(x,y) - ?
№189 слайд
Содержание слайда:
№190 слайд
Содержание слайда: Вопросы:
При каких условиях неявная функция существует? Непрерывная? Дифференцируемая?
№191 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 51. Пусть
- F(x0,y0,z0)=0
-!!!
- F дифференцируема в некоторой окрестности точки (x0,y0,z0).
ТОГДА
№192 слайд
Содержание слайда: Для любого >0 существуют окрестность точки (x0,y0)
и непрерывная и дифференцируемая функция z(x,y), определенная на этой окрестности, такая, что
- F(x,y,z(x,y))=0,
- |z(x,y)z0|<
№193 слайд
Содержание слайда: Частные производные
F(x,y,z)=0
Пример. xyz=sin(x+y+z)
№194 слайд
Содержание слайда: Для двух переменных
F(x,y)=0
Пример. sin(x2+y2)=exy
№195 слайд
Содержание слайда: Касательная плоскость к поверхности, заданной уравнением F(x,y,z)=0 в точке M0(x0,y0,z0).
Полагаем grad F(M0)0
Уравнение касательной плоскости
№196 слайд
Содержание слайда: Градиент – нормальный вектор к касательной плоскости (к поверхности)
Поверхности уровня
Линии уровня
№197 слайд
Содержание слайда: УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
Даны:
- функция
- условие связи.
Требуется найти
Экстремум в точках, координаты которых удовлетворяют условию связи
№198 слайд
Содержание слайда: Пример.
z=x2+y2
Условие связи: x+y=1
№199 слайд
Содержание слайда:
№200 слайд
Содержание слайда: ОПРЕДЕЛЕНИЕ 34. Говорят, что функция F(x,y,z) достигает в точке M0(x0,y0,z0) условный максимум (минимум) при условии связи g(x,y,z)=0, если
g(x0,y0,z0)=0
существует окрестность U точки M0 такая, что для любой точки (x,y,z)U, для которой g(x,y,z)=0, справедливо неравенство F(x,y,z)F(x0,y0,z0) (F(x,y,z)F(x0,y0,z0)).
№201 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 52. Если в точке M0(x0,y0,z0) достигается условный экстремум функции F(x,y,z) при уравнении связи g(x,y,z)=0 и при этом grad g(M0)0, то
grad g(M0) | | grad F(M0),
т.е. существует число такое, что
grad F(M0)+ grad g(M0)=0.
№202 слайд
Содержание слайда: (x,y,z,)=F(x,y,z)+g(x,y,z) – функция Лагранжа,
- множитель Лагранжа
Уравнения Лагранжа – НЕОБХОДИМЫЕ условия условного экстремума:
№203 слайд
Содержание слайда: ПРИМЕР
z=x2 y2
x2+y2=1
№204 слайд
Содержание слайда: В многомерном случае
F(x1,x2,…, xn) – целевая функция
Уравнения связи
gi(x1,x2,…, xn)=0 (i=1,2,…,k), k<n
№205 слайд
Содержание слайда: (x1,x2,…, xn,1, 2,…, k)=
=F(x1,x2,…, xn) +
– функция Лагранжа
№206 слайд
Содержание слайда: Необходимые условия экстремума – уравнения Лагранжа
(n+k) уравнений с (n+k) неизвестными
№207 слайд
Содержание слайда: Двойной интеграл
Объем криволинейного цилиндра
Функция z=f(x,y)>0
Область D на плоскости
Объем цилиндра (простого) мы знаем
№208 слайд
Содержание слайда: Пусть область D прямоугольник [a,b][c,d]
4 этапа
Разбиение на малые прямоугольники
Выбор точек
Нахождение интегральной суммы
Переход к пределу
№209 слайд
Содержание слайда: 1.
Выбираем точки a=x0<x1<…<xn=b
xi=xixi1 (i=1,…,n)
Выбираем точки c=y0<y1<…<ym=d
yj=yjyj1 (j=1,…,m)
Разбиение - прямоугольнички Dij со сторонами xi, yj
Площадь Sij=xiyj
(nm штук)
№210 слайд
Содержание слайда: 2. В каждом прямоугольничке – точки
Mij=(ij,ij)
№211 слайд
Содержание слайда: 3. Интегральная сумма
Приближение к объему…
Диаметр Dij равен
№212 слайд
Содержание слайда: 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 35. Двойным интегралом называется
если он существует.
Обозначения:
Функция называется интегрируемой.
№213 слайд
Содержание слайда: ЗАМЕЧАНИЕ. Интегрируемая функция ограниченная
Вопросы:
Когда двойной интеграл существует?
Если существует, как его вычислять?
№214 слайд
Содержание слайда: ТЕОРЕМА 53. Если функция f(x,y) непрерывна в области D, то двойной интеграл существует.
Если ограниченная функция непрерывна во всех точках области D кроме точек, расположенных на некоторой спрямляемой кривой (или нескольких спрямляемых кривых), то функция интегрируема.
№215 слайд
Содержание слайда: ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ ПО ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ D, ОГРАНИЧЕННОЙ ОДНОЙ ИЛИ НЕСКОЛЬКИМИ СПРЯМЛЯЕМЫМИ КРИВЫМИ
Строим прямоугольник
Определим функцию
№216 слайд
Содержание слайда: 1. Разбиение области произвольными спрямляемыми кривыми. Получаем подобласти Di с площадями Si (i=1,…,n)
2. Выбираем точки Mi Di
3. Интегральная сумма
№217 слайд
Содержание слайда: 4. Диаметр области Di
diam (Di)=sup{(x,y):x,yDi}
=max{diam (Di)}
№218 слайд
Содержание слайда: Замечание. Определения двойного интеграла в старом и новом смысле эквивалентны.
№219 слайд
Содержание слайда: Свойства двойных интегралов
1. Аддитивность
Если функция f(x,y) интегрируема по области D и область разбита спрямляемой кривой на две области D1, D2 без общих внутренних точек, то f(x,y) интегрируема по обеим областям D1, D2
№220 слайд
Содержание слайда: 2. Линейность
Здесь f,g – функции
, – числа
№221 слайд
Содержание слайда: 3. Произведение интегрируемых функций является интегрируемой функцией.
№222 слайд
Содержание слайда: 4. Если f и g – функции, интегрируемые в D и fg, то
№223 слайд
Содержание слайда: 5. Если функция f интегрируема в области D, то функция |f| - также интегрируема в области D и
№224 слайд
Содержание слайда: 6. Если функция f интегрируема в области D,
U=sup {f (M ): MD},
V=inf {f (M ): MD},
то существует число [V,U], для которого
S(D) – площадь области
№225 слайд
Содержание слайда: 7. Если функция f непрерывна в связной области D, то существует точка MD, для которой
№226 слайд
Содержание слайда: ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
На прямоугольнике [a,b][c,d]
Определим функцию
№227 слайд
Содержание слайда: К доказательству
1.
Выбираем точки a=x0<x1<…<xn=b
xi=xixi1 (i=1,…,n)
Выбираем точки c=y0<y1<…<ym=d
yj=yjyj1 (j=1,…,m)
Разбиение на прямоугольнички
№228 слайд
Содержание слайда: 2. В каждом прямоугольничке – точки
Mij=(ij,ij)
ТЕПЕРЬ
Выбираем точки i[xi1, xi], j[yj1, yj]
Полагаем ij=i, ij=j
№229 слайд
Содержание слайда: 3.
№230 слайд
Содержание слайда: 4. Сначала устремляем к 0
max{yj}
№231 слайд
Содержание слайда: Теперь устремляем к 0
max{xi}
№232 слайд
Содержание слайда: ПРИМЕРЫ
№233 слайд
Содержание слайда: Вычисление интеграла по произвольной области
ТЕОРЕМА 55. Пусть функция f(x,y) интегрируема в области D, ограниченной прямыми x=a, x=b и графиками функций y=g(x), y=h(x) (g(x)h(x)).
Если при любом x[a, b] существует
№234 слайд
Содержание слайда: и существует, то
Можно интегрировать в другом порядке!
№235 слайд
Содержание слайда: Пример.
№236 слайд
Содержание слайда: Можно разбить на части:
Кольцо
№237 слайд
Содержание слайда: ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ
Отображение
(x(u,v), y(u,v))
Взаимно однозначно отображает область
плоскости (u,v) на область D плоскости (x,y).
- Функции x(u,v), y(u,v) непрерывно дифференцируемые.
№238 слайд
Содержание слайда: Матрица Якоби:
Якобиан:
№239 слайд
Содержание слайда: Полагаем, что якобиан всюду отличен от 0.
Разбиваем область на прямоугольнички
прямыми u=const, v=const.
Соответственно область D разбивается на области, близкие к параллелограммам
№240 слайд
Содержание слайда: Пусть левый нижний угол прямоугольника (u,v), стороны u, v.
Вершины “почти параллелограмма”
A(x(u,v), y(u,v))
B(x(u+u,v), y (u+u,v))
C(x(u,v+v), y (u,v+v))
№241 слайд
Содержание слайда: Площадь:
Модуль якобиана – коэффициент искажения площади, знак связан с ориентацией
№242 слайд
Содержание слайда: Функция f(x,y) интегрируемая на D.
Обозначение:
Интегральная сумма
Диаметры областей связаны неравенствами
№243 слайд
Содержание слайда: Переходя к пределу при max{diam Dij}0, получаем:
№244 слайд
Содержание слайда: Полярные координаты
x=rcos , y=rsin
ПРИМЕР
№245 слайд
Содержание слайда: ПРИМЕР (интеграл Эйлера-Пуассона)
№246 слайд
Содержание слайда: ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
На плоскости xy – область D
Поверхность задана уравнением z(x,y) ((x,y) D)
№247 слайд
Содержание слайда: Область D разбиваем на части Di с площадями Si (i=1,…,n)
2. Выбираем точки PiDi
В каждой точке Mi(Pi ,f (Pi)) проводим касательную плоскость к поверхности
i – площадь области на касательной плоскости, проекция которой совпадает с Di.
№248 слайд
Содержание слайда:
№249 слайд
Содержание слайда:
№250 слайд
Содержание слайда: 3. Находим
=max{diam (Di )}
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 37. Площадью поверхности называется
№251 слайд
Содержание слайда: Вычисление
i – угол между нормалью к поверхности в точке Mi и осью z
i = Si /|cos i|
Вектор нормали: (в точке Pi)
Вектор k= (0,0,1)
№252 слайд
Содержание слайда:
№253 слайд
Содержание слайда: ПРИМЕРЫ
1. Площадь сферы x2+y2+z2=R2
2. Площадь части цилиндра x2+y2=a2, которая вырезается цилиндром x2+z2=a2
№254 слайд
Содержание слайда:
№255 слайд
Содержание слайда: ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА
Вектор-функция скалярного аргумента t
Если вектора отложить от начала координат, то концы векторов пробегают кривую – годограф вектор-функции.
№256 слайд
Содержание слайда: Предел вектор-функции (совпадает с покоординатным)
Непрерывность
Производная , если не равна 0, направлена по касательной к годографу.
№257 слайд
Содержание слайда: Правила дифференцирования
1. Производная постоянной вектор-функции равна 0.
2. Производная суммы равна сумме производных.
3.
(u(t) – скалярная функция)
№258 слайд
Содержание слайда: 4. (частный случай)
5.
6.
7. Если t=t(), то направление
касательной не зависит от параметризации
№259 слайд
Содержание слайда: Если
то плоскость, проходящая через точку годографа и параллельная векторам
называется соприкасающейся плоскостью к кривой.
№260 слайд
Содержание слайда: Особые точки – точки, в которых
или не существует
Скачать все slide презентации Математический анализ. Определенный интеграл одним архивом:
