Презентация Метод поиска в глубину. (Лекция 5) онлайн

Содержание слайда: Метод поиска в глубину Лекция 5

Содержание слайда: Поиск в глубину (Depth-first search, DFS) Пусть задан граф G = (V, E). Алгоритм поиска описывается следующим образом: для каждой непройденной вершины необходимо найти все непройденные смежные вершины и повторить поиск для них. Пусть в начальный момент времени все вершины окрашены в белый цвет. Из множества всех белых вершин выберем любую вершину: v1. Выполним для нее процедуру Поиск(v1). Перекрасим ее в черный цвет. Повторяем шаги 1-3 до тех пор, пока множество белых вершин не пусто.

Содержание слайда: Процедура Поиск(u) Поиск (u) {   цвет [u]  серый; d[u] = time++; // время входа в вершину, // порядковый глубинный номер вершины для  v  смежные(u) выполнить {     если (цвет[v] = белый) то { отец [v]  u; Поиск(v); } } цвет[u]  чёрный; f [u]  time++; // время выхода из вершины }

Содержание слайда: Процедура Поиск_в_графе Поиск_в_графе() {   для u  V выполнить {    цвет [u]  белый; отец [u]  NULL; } time  0; для u  V выполнить   если (цвет [u] = белый) то Поиск(u); }

Содержание слайда: Анализ Общее число операций при выполнении Поиск_в_графе: O(|V|) Общее число операций при выполнении Поиск(u): Цикл выполняется |смежные[v]| раз. ∑ |смежные[v]| = O(|E|) Общее число операций: O(|V|+|E|)

Содержание слайда: Поиск в глубину в неориентированном графе

Содержание слайда: Глубинный остовный лес Поиск в глубину на неориентированном графе G= (V, Е) разбивает ребра, составляющие Е, на два множества Т и В. Ребро (v, w) помещается в множество Т, если узел w не посещался до того момента, когда мы, рассматривая ребро (и, w), оказались в узле v. В противном случае ребро (v, w) помещается в множество В. Ребра из Т будем называть древесными, а из В — обратными. Подграф (V, Т) представляет собой неориентированный лес, называемый остовным лесом для G, построенным поиском в глубину, или, короче, глубинным остовным лесом для G. Если этот лес состоит из единственного дерева, (V, Т) будем называть по аналогии глубинным остовным деревом. Заметим, что если граф связен, то глубинный остовный лес будет деревом. Узел, с которого начинался поиск, считается корнем соответствующего дерева.

Содержание слайда: Свойства поиска в глубину Времена обнаружения и окончания обработки вершин образуют правильную скобочную структуру.

Содержание слайда: Теорема При поиске в глубину в графе G = (V, E) для любых двух вершин u и v выполняется одно из следующих утверждений: Отрезки [d[u],f[u]] и [d[v],f[v]] не пересекаются. Отрезок [d[u],f[u]] целиком содержится внутри отрезка [d[v],f[v]] и u есть потомок v в дереве поиска в глубину. Отрезок [d[v],f[v]] целиком содержится внутри отрезка [d[u],f[u]] и v есть потомок u в дереве поиска в глубину.

Содержание слайда: Поиск в глубину в ориентированном графе

Содержание слайда: Поиск в глубину в ориентированном графе G разбивает множество его ребер на четыре класса. Поиск в глубину в ориентированном графе G разбивает множество его ребер на четыре класса. 1) Древесные ребра, идущие к новым узлам в процессе поиска. 2) Прямые ребра, идущие от предков к подлинным потомкам, но не являющиеся древесными ребрами. 3) Обратные ребра, идущие от потомков к предкам (возможно, из узла в себя). 4) Поперечные ребра, соединяющие узлы, которые не являются ни предками, ни потомками друг друга.

Содержание слайда: Решение задачи топологической сортировки методом поиска в глубину Топологическая_сортировка (u) {   цвет [u]  серый; для  v  смежные(u) выполнить {   если (цвет[v] = белый) то { Топологическая_сортировка(v); } } цвет[u]  чёрный; Поместить u в начало списка; }

Содержание слайда: Пример

Содержание слайда: Поиск компонент связности в графе Компонента связности графа – это такое множество вершин графа, что для любых двух вершин из этого множества существует путь из одной в другую, и не существует пути из вершины этого множества в вершину не из этого множества.

Содержание слайда: Реализация поиска компонент связности в графе Поиск (u, n) {   цвет [u]  серый; C[u]  n; // номер компоненты связности для  v  смежные(u) выполнить { если (цвет[v] = белый) то Поиск(v, n); } цвет[u]  чёрный; } Поиск_в_графе() {   для u  V выполнить цвет [u]  белый; nk  0; для u  V выполнить     если (цвет [u] = белый) то { nk ++; Поиск(u, nk); } }

Содержание слайда: Метод поиска в ширину (BFS, Breadth-first search) Пусть задан граф G = (V, E) и некоторая начальная вершина s. Алгоритм поиска в ширину перечисляет все достижимые из s вершины в порядке возрастания расстояния от s. Расстоянием считается число ребер кратчайшего пути. Время работы алгоритма - O(|V|+ |E|) . Пусть в начальный момент времени все вершины окрашены в белый цвет. Вершину s окрасим в серый цвет и припишем расстояние 0. Смежные с ней вершины окрасим в серый цвет, припишем им расстояние 1, их предок - s. Окрасим вершину s в черный цвет. На шаге n поочередно рассматриваем белые вершины, смежные с вершинами с пометками n -1, и каждую из них раскрашиваем в серый цвет, приписываем им предка и расстояние n. После этого вершины с расстоянием n-1 окрашиваются в черный цвет.

Содержание слайда: Алгоритм Инициализация для ( u  (V\{s}) выполнить {  цвет[u] ← белый; предок[u]← NULL; d[u]← ∞; } d[s]← 0; предок[s]← NULL; put (s, Q);

Содержание слайда: пока (Q ≠ ) выполнить пока (Q ≠ ) выполнить { u ← first (Q); для ( v  смежные[u])выполнить {   если (цвет[v]= белый) то { цвет [v] ← серый; предок[v]← u; d[v]← d[u]+1; put(v,Q); } } get(Q); цвет[u] ← черный; }

Содержание слайда:

Содержание слайда: Нахождение кратчайшего пути в лабиринте

Содержание слайда: Пример построения остовных деревьев