Презентация Парадоксы теории множеств. (Лекция 9) онлайн

Содержание слайда:

Содержание слайда: Для любого кардинального числа α справедливо α<2α. Доказательство: 1. Докажем, что по крайней мере α≤2α Как известно, мощность булеана множества М равна 2|М|. Пусть множество М = {m1, m2, m3, …}. В булеан множества М (множество всех его подмножеств) в том числе входят множества, состоящие каждое из единственного элемента, например {m1},{m2},{m3}, …. Только такого вида подмножеств будет |М|, а кроме них в булеан входят и другие подмножества, значит, в любом случае |М|≤2|М|.

Содержание слайда: Докажем строгость неравенства α<2α С учетом доказанного в п.1. достаточно показать, что не допустима ситуация, при которой α=2α. Предположим противное, пусть α=2α, т.е. |М| = 2|М|. Это означает, что М равномощно Р(М), значит существует отображение множества М на его булеан Р(М). Т.о. каждому элементу m множества M взаимно однозначно соответствует некоторое подмножество Мm, принадлежащее Р(М). Значит любой элемент m или принадлежит соответствующему ему подмножеству Мm, или не принадлежит. Построим множество M*, образованное из всех элементов второго рода (т.е. тех m, которые не принадлежат соответствующим им подмножествам Мm)

Содержание слайда: По построению видно, что если какой-либо элемент m принадлежит M*, значит он автоматически не принадлежит Мm. Это, в свою очередь означает, что ни для какого m невозможна ситуация M*=Мm. Значит, множество M* отлично от всех множеств Мm и для него нет взаимно-однозначного элемента m из множества M. Это в свою очередь означает, что равенство |М|= 2|М|неверно. Т.о. доказано, что |М|< 2|М| или α<2α, Q.E.D.

Содержание слайда: Для любого множества А найдется множество В, мощность которого больше А.

Содержание слайда: Множества самой большой мощности не существует. Первые два трансфинитных числа имели в природе образующие их множества (множество натуральных чисел и множество действительных чисел). Множества самой большой мощности не существует. Первые два трансфинитных числа имели в природе образующие их множества (множество натуральных чисел и множество действительных чисел). Если отталкиваться от множества континуума, то можно построить множество всех подмножеств континуума, получим его булеан, назовем это множество BR. По определению мощность множества BR равна 2 א. Согласно теореме Кантора 2א ≠ א. Очевидно, что множество BR бесконечно, следовательно, его кардинальное число является числом трансфинитным и оно никак не может совпадать ни с одним из двух рассмотренных ранее трансфинитных чисел.

Содержание слайда: Алеф-один (א 1) – третье трансфинитное число. По определению, это мощность множества всех подмножеств континуума. Это же число соответствует мощности многих других множеств, например: Алеф-один (א 1) – третье трансфинитное число. По определению, это мощность множества всех подмножеств континуума. Это же число соответствует мощности многих других множеств, например: Множества всех линейных функций, принимающих любые действительные значения (линейная функция - действительная функции одной или нескольких переменных). По сути это множества всех возможных кривых в счетно-мерном пространстве, где количество измерений n – любое конечное число или даже א 0. Множества фигур на плоскости, т.е. множества всех подмножеств точек на плоскости или множества всех подмножеств пар действительных чисел. Множества тел в обычном трехмерном пространстве, а также, вообще говоря, в любом счетно-мерном пространстве, где количество измерений n – любое конечное число или даже א 0. Поскольку число א1 вводится как мощность булеана множества с мощностью À, получаем утверждение, что א1 =2א .

Содержание слайда: Для любого бесконечного множества S не существует таких множеств, кардинальное число которых больше, чем у S, но меньше, чем у множества всех его подмножеств ( 2S).

Содержание слайда: Кардинальное число множества всех подмножеств P(U) множества всех множеств U не больше чем |U|. Кардинальное число множества всех подмножеств P(U) множества всех множеств U не больше чем |U|. Доказательство: Так как U содержит все мыслимые и возможные множества, то оно по логике вещей, содержит в частности и множество всех своих подмножеств. Более того, все элементы множества P(U) принадлежат U, следовательно, |P(U)| ≤ |U|. Однако существует доказанная ранее Теорема Кантора, согласно которой для любого кардинального числа α справедливо: α<2α. Т.о., ввиду того, что P(U) - множество всех подмножеств U (булеан U), получим что |P(U)| > |U|. Два полученных вывода |P(U)| ≤ |U| и |P(U)| > |U| прямо противоречат друг другу, что в принципе не должно быть возможно и является иллюстрацией парадокса, Q.E.D.

Содержание слайда: Пусть В – множество всех множеств, которые не содержат самих себя в качестве своих собственных элементов. Тогда можно доказать две теоремы. Пусть В – множество всех множеств, которые не содержат самих себя в качестве своих собственных элементов. Тогда можно доказать две теоремы. 1. В принадлежит В. 2. В не принадлежит В. Доказательство: 1. Предположим противное, т.е. В не принадлежит В. Раз В не содержит себя в качестве своего собственного элемента, то, по определению, это означает, что В входит в рассматриваемый класс, то есть принадлежит В. Получили противоречие – следовательно, исходное предположение неверно и В принадлежит В, Q.E.D. 2. Предположим противное, т.е. В принадлежит В. По определению множества В любой его элемент не может иметь себя в качестве собственного элемента, следовательно, В не принадлежит рассматриваемому классу, т.е. В не принадлежит В. Противоречие – следовательно, исходное предположение неверно и В не принадлежит В, Q.E.D.

Содержание слайда: Например Например Свойство быть сладким не применимо само к себе, потому что свойство быть сладким само по себе не сладкое, значит свойство быть сладким – импредикабельно. Свойство быть абстрактным, будучи абстрактным, разумеется, абстрактно, т.е. применимо само к себе, а значит по определению не импредикабельно.

Содержание слайда: Пусть Р – некоторое свойство. Пусть Р – некоторое свойство. Обладает ли само Р этим свойством Р? Доказательство: Нетрудно показать две ветки рассуждений: 1. если это свойство импредикабельно, то значит не применимо само к себе, и, следовательно, свойство быть импредикабельным не является импредикабельным. 2. если это свойство не импредикабельно само по себе, то значит оно применимо само к себе, и, следовательно, свойство быть импредикабельным по своей сути импредикабельно. Итак, напрашивается неутешительный вывод: свойство быть импредикабельным импредикабельно тогда и только тогда, когда оно не импредикабельно. С виду нелепость, на самом деле серьезный и даже в некотором смысле плачевный вывод. Возникает невольное ощущение, что сами законы мышления по своей сути противоречивы.

Содержание слайда: То, что я утверждаю сейчас, ложно. Если это высказывание истинно, то оно ложно, и в то же время, если оно ложно, то истинно. Таким образом, оно противоречит «закону исключённого третьего» в двоичной логике.

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: