Презентация Свойства определителей онлайн

Содержание слайда: Лекция №2

Содержание слайда: Лемма 3. При умножении произвольной квадратной матрицы A порядка n справа на трансвекцию к ее j-у столбцу добавляется i-столбец умноженный на d. Лемма 3. При умножении произвольной квадратной матрицы A порядка n справа на трансвекцию к ее j-у столбцу добавляется i-столбец умноженный на d. Лемма 4. При умножении произвольной квадратной матрицы A порядка n слева на трансвекцию к ее i-ой строке добавляется j-ая строка, умноженная на d. Пример:

Содержание слайда: Определение. Квадратная матрица размерности n называется обратимой, если существует матрица X такая, что Такая матрица X – называется обратной для матрицы A и обозначается Определение. Квадратная матрица размерности n называется обратимой, если существует матрица X такая, что Такая матрица X – называется обратной для матрицы A и обозначается Пример матрицы, которая не имеет обратной. Пусть X – произвольная матрица квадратная 2-го порядка

Содержание слайда: Лемма 5. Для любых трансвекций одного порядка выполнятся Лемма 5. Для любых трансвекций одного порядка выполнятся Следствие. Любая трансвекция является обратимой матрицей, причем .

Содержание слайда: Определители Определение. Определителем второго порядка соответствующим квадратной матрицей второго порядка называется число D, равное Определитель любого порядка введем индуктивно, считая что мы уже имеем понятие определителя порядка .

Содержание слайда: Определение. Минором элемента квадратной матрицы порядка называется определитель порядка , соответствующий матрице, которая получается из матрицы вычеркиванием i – строки и j – столбца (той строки и того столбца на пересечении которых стоит элемент ). Определение. Минором элемента квадратной матрицы порядка называется определитель порядка , соответствующий матрице, которая получается из матрицы вычеркиванием i – строки и j – столбца (той строки и того столбца на пересечении которых стоит элемент ). Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется число где минор элемента .

Содержание слайда: Определение. Определителем порядка n, соответствующим квадратной матрице порядка , называется число равное Определение. Определителем порядка n, соответствующим квадратной матрице порядка , называется число равное

Содержание слайда: Теорема 1 (Основная для определителя). Теорема 1 (Основная для определителя). Для любой квадратной матрицы порядка , определитель этой матрицы: (разложению по любой строке (разложению по любому столбцу

Содержание слайда: Свойства определителей

Содержание слайда: При операции транспонировании величина определителя сохраняется, т.е. При операции транспонировании величина определителя сохраняется, т.е. Если какая-либо строка (столбец) определителя состоит из нулей, то и сам определитель равен нулю. При перестановке местами двух строк (столбцов) определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Содержание слайда: Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя, т.е. Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя, т.е.

Содержание слайда: Если элементы некоторой строки (столбца) определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то и сам определитель равен сумме двух слагаемых и .т В определители указанная строка состоит из первых слагаемых, в - из вторых слагаемых. Остальные строки (столбцы) определителей и - те же, что и в . Если элементы некоторой строки (столбца) определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то и сам определитель равен сумме двух слагаемых и .т В определители указанная строка состоит из первых слагаемых, в - из вторых слагаемых. Остальные строки (столбцы) определителей и - те же, что и в .

Содержание слайда: Величина определителя не изменится, если к одной из строк (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на какое угодно число. Величина определителя не изменится, если к одной из строк (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на какое угодно число.

Содержание слайда: Практический способ вычисления определителей. Для вычисления определителя 3-го порядка часто используется формула «треугольников»:

Содержание слайда: Запомнить формулу (1) можно с помощью двух схем: Запомнить формулу (1) можно с помощью двух схем:

Содержание слайда: Вычисление определителя с предварительным получением нулей в строке или столбце на основе свойства 7. Вычисление определителя с предварительным получением нулей в строке или столбце на основе свойства 7. Пример. Вычислить определитель зануляя элементы второй строки.

Содержание слайда: Теорема 1. Всякая квадратная матрица A размерности n разлагается в произведение одной диагональной матрицы и нескольких трансвекций. Теорема 1. Всякая квадратная матрица A размерности n разлагается в произведение одной диагональной матрицы и нескольких трансвекций. Док-во: индукцией по n. При верно, пусть верно для докажем для . Случ. 1. Случ. 2. но существует j. или Случ. 3. Все и все

Содержание слайда: Теорема 2. Для любой квадратной матрицы A равносильны следующие утверждения: Теорема 2. Для любой квадратной матрицы A равносильны следующие утверждения: – матрица такая, что ; Y – матрица такая, что ; – матрица такая, что ;

Содержание слайда: Док-во: Док-во: