Презентация Математическая статистика онлайн

Содержание слайда: Математическая статистика

Содержание слайда: Задачи математической статистики

Содержание слайда: Оценка неизвестной функции распределения. Оценка неизвестной функции распределения. Оценка неизвестных параметров распределения. Статистическая проверка гипотез.

Содержание слайда: Выборочный метод. Генеральная совокупность. Выборка

Содержание слайда: Опр. Исследуемая совокупность объектов наз. генеральной совокупностью ( - очень велико, в некоторых случаях количество значений, образующих генеральную совокупность, можно считать и бесконечным). Опр. Исследуемая совокупность объектов наз. генеральной совокупностью ( - очень велико, в некоторых случаях количество значений, образующих генеральную совокупность, можно считать и бесконечным).

Содержание слайда: Опр. Совокупность объектов , отобранных случайным образом из генеральной совокупности наз. выборочной совокупностью (выборкой), где Опр. Совокупность объектов , отобранных случайным образом из генеральной совокупности наз. выборочной совокупностью (выборкой), где Число наз. объемом выборки.

Содержание слайда: Метод основанный на том, что по выборочной совокупности выделенной из данной генеральной совокупности делается заключение о всей генеральной совокупности наз. выборочным методом Метод основанный на том, что по выборочной совокупности выделенной из данной генеральной совокупности делается заключение о всей генеральной совокупности наз. выборочным методом

Содержание слайда: Виды выборок

Содержание слайда: Собственно-случайная Выборка образованная случайным выбором элементов без расчленения на части или группы.

Содержание слайда: Механическая Выборка, в которую элементы из генеральной совокупности отбираются через определенный интервал. Например, если объем выборки должен составлять 10% (10%-я выборка), то отбирается каждый 10-й элемент.

Содержание слайда: Типическая Выборка, в которую случайным образом отбираются элементы из типических групп, на которые по некоторому признаку разбивается генеральная совокупность.

Содержание слайда: Серийная Выборка, в которую случайным образом отбираются не элементы, а целые группы совокупности(серии), а сами серии подвергаются сплошному наблюдению.

Содержание слайда: Способы образования выборки

Содержание слайда: Повторный отбор Каждый элемент, случайно отобранный и обследованный, возвращается в общую совокупность и может быть повторно отобран.

Содержание слайда: Бесповторный Отобранный элемент не возвращается в общую совокупность

Содержание слайда: Статистический ряд. Статистическое распределение. Эмпирическая функция распределения

Содержание слайда: Варианты: Варианты: Вариационный ряд: или

Содержание слайда: Из генеральной совокупности извлечена выборка объема Из генеральной совокупности извлечена выборка объема наблюдалась раз; наблюдалась раза; наблюдалась раза; ………………………………… наблюдалась раз. Причем .

Содержание слайда: Числа Числа называются частотами. Числа , где наз. относительными частотами.

Содержание слайда: Статистическое распределение выборки

Содержание слайда: Полигон частот

Содержание слайда:

Содержание слайда: Полигон относительных частот

Содержание слайда:

Содержание слайда: Эмпирическая функция распределения

Содержание слайда: Эмпирическая функция распределения это функция равная отношению числа вариант, меньших , к объему выборки: .

Содержание слайда: Свойства эмпирической функции распределения

Содержание слайда: 1) 1) 2) - неубывающая; 3) если наименьшая варианта, то при 4) если наибольшая варианта, то при

Содержание слайда: Пример. По данному распределению выборки построить эмпирическую функцию.

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Статистическая совокупность

Содержание слайда:

Содержание слайда: Число интервалов определяется по формуле Стерджеса

Содержание слайда: Гистограмма частот

Содержание слайда: Ступенчатая фигура, состоящая из Ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною , а высоты равны отношению (плотность частот).

Содержание слайда:

Содержание слайда: Площадь гистограммы частот Площадь гистограммы частот тогда

Содержание слайда: Гистограмма относительных частот

Содержание слайда: Ступенчатая фигура, состоящая из Ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною , а высоты равны отношению (плотность относительных частот).

Содержание слайда:

Содержание слайда: Площадь гистограммы относительных частот

Содержание слайда: тогда

Содержание слайда: Статистические оценки параметров распределения

Содержание слайда: Точечные оценки Оценка, которая определяется одним число, наз. точечной.

Содержание слайда: Интервальные оценки Оценка, которая определяется двумя числами, являющимися концами интервала, содержащего неизвестный параметр, называется интервальной.

Содержание слайда: Свойства точечных оценок

Содержание слайда: Несмещенность Статистическая оценка наз. несмещенной, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки:

Содержание слайда: Эффективность Статистическая оценка наз. эффективной, если она имеет наименьшую возможную дисперсию.

Содержание слайда: Состоятельность Статистическая оценка наз. состоятельной, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру :

Содержание слайда: Теорема. Если дисперсия несмещенной оценки при стремится к нулю, то такая оценка состоятельна. Теорема. Если дисперсия несмещенной оценки при стремится к нулю, то такая оценка состоятельна. Док-во: Оценка параметра несмещенная, т.е. , поэтому при из неравенства Чебышева следует

Содержание слайда: Но при Но при Значит при , для каждого фиксированного : а Но тогда при

Содержание слайда: Генеральная средняя или

Содержание слайда: Выборочная средняя

Содержание слайда: или

Содержание слайда: Генеральная дисперсия

Содержание слайда: или

Содержание слайда: Выборочная дисперсия

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Выборочная средняя является несмещенной и состоятельной: Выборочная средняя является несмещенной и состоятельной:

Содержание слайда: 1.Рассмотрим выборочную среднюю, как случайную величину 1.Рассмотрим выборочную среднюю, как случайную величину

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: т.е. т.е.

Содержание слайда:

Содержание слайда: 2.Используем неравенство Чебышева:

Содержание слайда: Пусть тогда Пусть тогда т.е. Значит выборочная средняя является статистической оценкой генеральной средней.

Содержание слайда: Выборочная дисперсия является смещенной оценкой: Выборочная дисперсия является смещенной оценкой:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Несмещенная оценка генеральной дисперсии - исправленная выборочная дисперсия: Несмещенная оценка генеральной дисперсии - исправленная выборочная дисперсия:

Содержание слайда: Статистические характеристики

Содержание слайда: Мода

Содержание слайда: Медиана

Содержание слайда: Асимметрия Асимметрия распределения характеризуется тем, что вариант, меньших и больших моды неодинаковое число.

Содержание слайда: При При асимметрия положительная; При асимметрия отрицательная.

Содержание слайда: Если , то распределение почти симметрично; Если , то распределение почти симметрично; если , то распределение сильно асимметрично.

Содержание слайда: Эксцесс Эксцесс характеризует крутовершинность кривой распределения.

Содержание слайда: Если , то распределение считается близким к нормальному; если , то распределение значительно отклоняется от нормального.

Содержание слайда: Метод произведений -условные варианты, -условный нуль.

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Статистическая проверка статистических гипотез

Содержание слайда: Нулевая гипотеза - выдвинутая гипотеза. Нулевая гипотеза - выдвинутая гипотеза. Конкурирующая гипотеза - - гипотеза, которая противоречит нулевой гипотезе.

Содержание слайда: Простая гипотеза – гипотеза, содержащая одно предположение: Простая гипотеза – гипотеза, содержащая одно предположение:

Содержание слайда: Сложная гипотеза – гипотеза, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез: Сложная гипотеза – гипотеза, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез:

Содержание слайда: Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Уровень значимости – вероятность совершить ошибку первого рода.

Содержание слайда: Статистический критерий - случайная величина, которая служит для проверки нулевой гипотезы. Статистический критерий - случайная величина, которая служит для проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемым значением - значение критерия, вычисленное по выборке.

Содержание слайда: Критическая область – совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Критическая область – совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Область принятия гипотезы - совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают. Критические точки - точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Содержание слайда: Правосторонняя критическая область – критическая область определяющаяся неравенством: Правосторонняя критическая область – критическая область определяющаяся неравенством: ищут, исходя из требования чтобы

Содержание слайда: Левосторонняя критическая область – критическая область, определяющаяся неравенством: ищут, исходя из требования чтобы

Содержание слайда: Двусторонняя критическая область – критическая область, определяющаяся неравенством: Двусторонняя критическая область – критическая область, определяющаяся неравенством: ищут, исходя из требования чтобы

Содержание слайда: Если распределение критерия симметрично относительно 0 и имеются основания выбрать симметричные относительно нуля точки: то Если распределение критерия симметрично относительно 0 и имеются основания выбрать симметричные относительно нуля точки: то Тогда заменится или

Содержание слайда: Доверительная вероятность (надежность)- вероятность с которой осуществляется неравенство , т.е. Доверительная вероятность (надежность)- вероятность с которой осуществляется неравенство , т.е. Доверительный интервал – интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .

Содержание слайда: Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном . Число определяется из равенства

Содержание слайда: Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном Число определяется по таблице

Содержание слайда: Критерий согласия – критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. Критерий согласия – критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. Критерии согласия: ( хи квадрат) Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др.

Содержание слайда: Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

Содержание слайда: Критерий Пирсона

Содержание слайда: В качестве критерия проверки примем случайную величину где -эмпирические частоты; -теоретические частоты.

Содержание слайда: Строим правостороннюю критическую область, исходя из требования, что Строим правостороннюю критическую область, исходя из требования, что в предположении справедливости , где - уровень значимости; - число степеней свободы.

Содержание слайда: Число степеней свободы находят по формуле Число степеней свободы находят по формуле где - число групп(частичных интервалов) выборки; - число параметров предполагаемого распределения, которые оценены по данным выборки. Если предполагаемое распределение нормальное, то оценивают два параметра и тогда

Содержание слайда: Если обозначить , то при гипотезу принимают; при гипотезу отвергают.

Содержание слайда: Критерий согласия Колмогорова

Содержание слайда: Если функция распределения Если функция распределения случайной величины непрерывна, то практически ее эмпирическая функция распределения при сходится к .

Содержание слайда: Если непрерывна, то функция Если непрерывна, то функция распределения величины при имеет пределом функцию которая не зависит от вида функции

Содержание слайда: По таблице найдем значение функции и затем значение функции По таблице найдем значение функции и затем значение функции Если , то расхождение между эмпирическими и теоретическими функциями распределения несущественно, если , то расхождение существенно.

Содержание слайда: Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

Содержание слайда: В качестве критерия проверки нулевой гипотезы о равенстве генеральных дисперсий примем случайную величину , причем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей: В качестве критерия проверки нулевой гипотезы о равенстве генеральных дисперсий примем случайную величину , причем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:

Содержание слайда: Величина при условии справедливости имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы и где - объем выборки, по которой вычислена большая исправленная дисперсия.

Содержание слайда: Элементы теории корреляции

Содержание слайда: Основные задачи теории корреляции

Содержание слайда: О форме корреляционной связи между и О форме корреляционной связи между и в виде некоторой функциональной зависимости, которая хотя бы приближенно изображала расплывчатую корреляционную зависимость. Об оценке тесноты корреляционной связи между и , т.е. о степени близости корреляционной зависимости к функциональной.

Содержание слайда: Регрессии Регрессией от называется функциональная зависимость между значениями и соответствующими условными средними значениями . Регрессии можно представить геометрически в виде ломанных линий, соединяющих или точки ( ; ), или точки ( ; ).

Содержание слайда: Эти линии называются эмпирическими (полученными из опыта) ломаными линиями регрессии. Эти линии называются эмпирическими (полученными из опыта) ломаными линиями регрессии. Плавную кривую можно получить и иначе, – если ломаную линию регрессии “сгладить” посредством какой-либо известной линии (прямой, параболы, гиперболы и т.п.). Уравнение сглаживающей линии даст хотя и приближенно, но аналитическое – в виде формулы – выражение регрессии. Подобные формулы называют эмпирическими

Содержание слайда: Задача отыскания эмпирической формулы распадается на две

Содержание слайда: 1. Выбор типа линии, выравнивающей ломанную регрессии, т.е. типа линии, около которой группируются экспериментальные точки ( ; ) или ( ; ). 1. Выбор типа линии, выравнивающей ломанную регрессии, т.е. типа линии, около которой группируются экспериментальные точки ( ; ) или ( ; ). 2. Определение параметров, входящих в уравнение линии выбранного типа, таким образом, чтобы из множества линий этого типа взять ту, которая наиболее близко проходит около точек ломаной регрессии.

Содержание слайда: Выбор типа линии, выравнивающей ломаную линию регрессии Для выбора типа линии, выравнивающей ломаную линию регрессии, необходимо хорошо знать простейшие виды линий и их уравнения.

Содержание слайда: Определения параметров в уравнении выравнивающей линии выбранного типа

Содержание слайда: Метод средних применяют в тех случаях, когда выбранный тип уравнения выравнивающей линии содержит лишь один параметр. Метод средних применяют в тех случаях, когда выбранный тип уравнения выравнивающей линии содержит лишь один параметр. Метод проб используют, когда выбранная формула содержит несколько параметров .

Содержание слайда: Метод выровненных (или выбранных) точек состоит в выборе по чертежу нескольких точек (не обязательно совпадающих с точками линии регрессии), через которые проводят выравнивающую линию и определяют ее уравнение по координатам этих выбранных точек. Метод выровненных (или выбранных) точек состоит в выборе по чертежу нескольких точек (не обязательно совпадающих с точками линии регрессии), через которые проводят выравнивающую линию и определяют ее уравнение по координатам этих выбранных точек. Метод наименьших квадратов служит для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные погрешности.

Содержание слайда: Метод наименьших квадратов

Содержание слайда: Необходимо минимизировать сумму Необходимо минимизировать сумму где , – значения опытных данных; – значение функции, взятое из эмпирической зависимости в точке ; – число опытов.

Содержание слайда: В случае линейной эмпирической формулы сумма принимает вид В случае линейной эмпирической формулы сумма принимает вид , а в случае квадратической зависимости – следующий вид: .

Содержание слайда:

Содержание слайда:

Содержание слайда: Оценка тесноты корреляционной зависимости

Содержание слайда: Для оценки тесноты корреляционной зависимости служит корреляционное отношение: Для оценки тесноты корреляционной зависимости служит корреляционное отношение: где – выборочная дисперсия случайной величины , вычисленная по всей таблице; – дисперсия условных средних относительно общей средней, так называемая внешняя дисперсия.

Содержание слайда: Критерий Фишера

Содержание слайда:

Содержание слайда: где – остаточная дисперсия; – число коэффициентов в уравнении регрессии; – ордината линии регрессии в точке ; – дисперсия воспроизводимости средних, равная исправленной внутренней дисперсии, деленной на число экспериментов , по которым вычислялись условные средние :

Содержание слайда:

Содержание слайда: Величина имеет распределение Фишера с числами степеней свободы ( – число задаваемых экспериментатором значений величины , Величина имеет распределение Фишера с числами степеней свободы ( – число задаваемых экспериментатором значений величины , – число проводимых опытов, – число коэффициентов в уравнении регрессии). Из таблицы критических точек распределения Фишера находим .

Содержание слайда: Если < , уравнение регрессии адекватно. Если > расхождение между теоретической и эмпирической линиями регрессии значимо, уравнение не адекватно, следует взять многочлен более высокого порядка.

Содержание слайда: Линейная корреляция

Содержание слайда: Из всех корреляционных зависимостей надо особо выделить линейную корреляцию, т.е. такую, когда точки регрессии располагаются вблизи некоторой прямой линии. Из всех корреляционных зависимостей надо особо выделить линейную корреляцию, т.е. такую, когда точки регрессии располагаются вблизи некоторой прямой линии.

Содержание слайда: Виды регрессии 1) регрессия на в виде функциональной зависимости ; 2) регрессия на в виде функциональной зависимости .

Содержание слайда: Выборочный коэффициент корреляции

Содержание слайда: Выборочное уравнение прямой линии регрессии на

Содержание слайда: Выборочное уравнение прямой линии регрессии на

Содержание слайда: Если данные наблюдений над признаками Если данные наблюдений над признаками и заданы в виде корреляционной таблицы с равноотстоящими вариантами, то целесообразно перейти к условным вариантам : ,

Содержание слайда: Выборочный коэффициент корреляции

Содержание слайда:

Содержание слайда: