Презентация Математическая статистика и теория вероятности онлайн

Содержание слайда: Реферат по курсу математической статистики и теории вероятности Подготовил: Шевченко Остап 103гр

Содержание слайда: Понятие о совместной функции распределения случайных величин Определения: Функция нескольких переменных:

Содержание слайда: Функция распределения случайной величины ξ : Функция распределения случайной величины ξ :

Содержание слайда: Построение графика функции распределения случайной величины

Содержание слайда:

Содержание слайда: Свойства функции совместного распределения Свойство 1: Функция распределения F (x,y) есть неубывающая функция обоих своих аргументов, т. е.: при х2 > x1 F(х2,y) ≥ F(x1,y); при y2 > y1 F(х,y2) ≥ F(x,y1).

Содержание слайда: Свойства функции совместного распределения Свойство 2: Повсюду на -ꝏ функция распределения равна нулю: F(х, -ꝏ) = F(-ꝏ,y) = F (-ꝏ, -ꝏ) = 0.

Содержание слайда: Свойства функции совместного распределения Свойство 3: При одном из аргументов, равном +ꝏ, функция распределения системы превращается в функцию распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу: F(х, +ꝏ) = F1(x); F (+ꝏ, y) = F2(y),

Содержание слайда: Свойства функции совместного распределения Свойство 4. Если оба аргумента равны +ꝏ, функция распределения системы равна единице: F (+ꝏ, +ꝏ) = 1.

Содержание слайда: Свойства функции совместного распределения Для системы двух случайных величин актуальным является вопрос о вероятности попадания случайной точки (Х, Y) в пределы заданной области D на плоскости xOy:

Содержание слайда: Доверительные интервалы для параметра а в случае выборки из нормального распределения N (а,σ2): а) при известном σ2; б) при неизвестном σ2

Содержание слайда: Определения: Определения: Генеральная совокупность - совокупность всех объектов (единиц), относительно которых предполагается делать выводы при изучении конкретной задачи. Генеральная совокупность состоит из всех объектов, которые имеют качества, свойства, интересующие исследователя. Выборка или выборочная совокупность — часть генеральной совокупности элементов, которая охватывается экспериментом (наблюдением, опросом).

Содержание слайда: Функция распределения случайной величины Х - Функция распределения случайной величины Х - Математическое ожидание - мера среднего значения случайной величины в теории вероятностей (задается интегралом Лебега — Стилтьеса) – Дисперсия (D[X], σ2)- мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания -

Содержание слайда: Закон распределения – это некоторая функция, полностью описывающая случайную величину с вероятностной точки зрения. Закон распределения – это некоторая функция, полностью описывающая случайную величину с вероятностной точки зрения. Нормальное распределение (распределение Гаусса) – семейство распределения вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний и зависит от двух параметров – смещения (коэффициент сдвига μ) и масштаба (коэффициент масштаба σ > 0). σ, μ – вещественные.

Содержание слайда: Плотность вероятности нормального распределения

Содержание слайда: Функция нормального распределения

Содержание слайда: Доверительный интервал - это интервал, построенный с помощью случайной выборки из распределения с неизвестным параметром, такой, что он содержит данный параметр с заданной вероятностью. Доверительный интервал - это интервал, построенный с помощью случайной выборки из распределения с неизвестным параметром, такой, что он содержит данный параметр с заданной вероятностью. Пусть х1,…,хn – выборка из некоторого распределения с плотностью p(x;θ) = p(х1,… ,хn;θ), зависящей от параметра θ, который может изменяться в интервале θ0< θ <θ1. Пусть y(х1,…,хn) – некоторая статистика и F(x;θ) = P{η ≤ x} – функция распределения случайной величины η = y(х1,…,хn), когда выборка х1,…,хn имеет распределение с плотностью p(х1,… ,хn;θ). Предположим, что F(x;θ) есть убывающая функция от параметра θ. Обозначим хγ(θ) квантиль распределения F(x;θ), тогда хγ(θ) - есть возрастающая функция от θ.

Содержание слайда: Зафиксируем близкое к нулю положительное число α (например, 0.05 или 0.01). Пусть α = α1+ α2. При каждом θ неравенства Зафиксируем близкое к нулю положительное число α (например, 0.05 или 0.01). Пусть α = α1+ α2. При каждом θ неравенства (1) выполняются с вероятностью 1-α, близкой к единице. Перепишем неравенства (1) в другом виде: (2) Обозначим и запишем (2) в следующем виде: Интервал называется доверительным интервалом для параметра θ, а вероятность 1-α – доверительной вероятностью.

Содержание слайда: Доверительный интервал для математического ожидания (μ) в случае нормальной генеральной совокупности и известной дисперсии

Содержание слайда: Вывод полученного выражения

Содержание слайда: Доверительный интервал для математического ожидания (μ) в случае нормальной генеральной совокупности и неизвестной дисперсии

Содержание слайда: Вывод полученного выражения

Содержание слайда: Творческое задание. Анализ статьи «Inflammation, Aspirin, and the Risk of Cardiovascular Disease in Apparently Healthy Men»

Содержание слайда: Что изучалось Увеличивает ли воспалительный процесс риск возникновения тромботических заболеваний; снижает ли приём аспирина этот риск.

Содержание слайда: Методика Авторы измерили уровень плазменного C-реактивного белка, маркер системного воспаления, у 543 здоровых мужчин, у которых впоследствии развился инфаркт миокарда, инсульт или венозный тромбоз, и у 543 участников исследования, которые не сообщили о сосудистых заболеваниях в течение последующего периода, превышающего восемь лет. Участники были рандомизированы для приёма аспирина или плацебо в начале исследования.

Содержание слайда: Перед рандомизацией в период с августа 1982 года по декабрь 1984 года потенциальным участникам было предложено предоставлять образцы опытной линии крови в течение 16-недельного периода, в течение которого всем участникам был дан аспирин, и никто не получал плацебо. Из 22 071 участников 14 916 (68%) предоставили образцы «опытной» плазмы. Перед рандомизацией в период с августа 1982 года по декабрь 1984 года потенциальным участникам было предложено предоставлять образцы опытной линии крови в течение 16-недельного периода, в течение которого всем участникам был дан аспирин, и никто не получал плацебо. Из 22 071 участников 14 916 (68%) предоставили образцы «опытной» плазмы. Контроль был выбран случайным образом среди участников исследования, которые соответствовали критериям соответствия возраста (±1 год), статусу курения (курение в настоящее время, курили в прошлом или никогда не курили), а также продолжительность времени, прошедшего после после рандомизации (через 6-месячные интервалы). Используя эти методы, авторы оценили 543 пациента и 543 контроля.

Содержание слайда: Базовые характеристики участников исследования

Содержание слайда: Статистика Для пациентов из контрольной группы были рассчитаны средние или доли для базовых факторов риска. Значение любой разницы в средних было проверено с использованием t-критерия Стьюдента, а значение любых различий в долях было проверено с использованием статистики χ2. Поскольку значения С-реактивного белка искажены, вычислялись средние концентрации, и значение любых различий в средних значениях между пациентами и контрольной группой оценивали с использованием рангового теста Уилкоксона (будет рассмотрен далее). Геометрические средние концентрации С-реактивного белка также вычислялись после логарифмирования, что приводило к почти нормальному распределению. Авторы использовали тест для тренда, чтобы оценить любое соотношение возрастающих значений С-реактивного белка с риском будущего сосудистого заболевания после деления образца на квартили, определяемые распределением контрольных значений. Авторы получили скорректированные оценки с использованием условных моделей логистической регрессии, которые учитывали сопоставимые переменные и контролировали назначение случайного лечения, индекс массы тела, диабет, историю гипертонии и родительскую историю болезни коронарной артерии. Аналогичные модели использовались для корректировки измеренных концентраций общей массы и холестерина, ЛПВП, триглицеридов, липопротеинов, антигена t-PA, фибриногена, D-димера и гомоцистеина. Чтобы оценить, повлиял ли аспирин на эти отношения, анализы были повторены для всех случаев инфаркта миокарда, произошедшего 25 января 1988 года или до этого, — даты, когда рандомизированное назначение аспирина прекращалось.

Содержание слайда: Концентрация плазменной концентрации C-реактивного белка в базовой линии у участников исследования, у которых не проявилось сосудистых заболеваний во время наблюдения (контроль) и у тех, у кого произошел инфаркт миокарда, инсульт или венозный тромбоз (пациенты)

Содержание слайда: Относительный риск будущего инфаркта миокарда, инсульта и венозного тромбоза в соответствии с концентрацией плазмы C-реактивного белка в базовой линии

Содержание слайда: Относительный риск первого инфаркта миокарда, связанного с концентрацией плазмы C-реактивного белка в базовой линии, стратифицированной в соответствии с рандомизированным назначением на аспирин или плацебо-терапию

Содержание слайда: Разбор статистической методики U-критерий Манна — Уитни

Содержание слайда: Представление данных Выборка 1 (объём n1): x11, x21, …, ; Выборка 2 (объём n2): x12, x22, …, . Наблюдения из двух выборок объёма n1­ и n2 объединяются и упорядочиваются, например, по возрастанию. Затем наблюдениям присваиваются ранги. Выборка первая (объём п1) Наблюдение x11, x21, …, Ранг r11, r21, …, Сумма рангов в первой выборке

Содержание слайда: Представление данных Выборка вторая (объём n2) Наблюдение x12, x22, …, Ранг r12, r22, …, Сумма рангов во второй выборке Общее число наблюдений N = n1 + n2.

Содержание слайда: Статистическая модель Все наблюдения независимы. Наблюдения, входящих в одну выборку, относятся к одной совокупности.

Содержание слайда: Гипотезы Н0: совокупности одинаково распределены; Н1: нулевая гипотеза неверна

Содержание слайда: Критериальная статистика Малые выборки Вычисляются и берётся U = max(U1, U2)

Содержание слайда: Критериальная статистика Большие выборки В том случае, когда объём меньшей выборки больше 20 или объём большей выборки превышает 40, то U распределение Манна — Уитни приближается к нормальному. Пусть

Содержание слайда: Критериальная статистика В том случае, если совпадающие ранги существуют, то

Содержание слайда: Поправка Йейтса

Содержание слайда: Результаты статьи В статье были сравнены концентрации С-реактивного белка у двух групп мужчин (по 543 человека в каждой в соответствии, стало быть, указанного выше «рецепта» применения данного критерия). Точно проследить использование данного критерия не представляется возможным по данной статье, так как авторы не приводят первичные данные для 1086 участников. Концентрации C-реактивных белков плазмы в «эксперименте» были выше среди мужчин, у которых был инфаркт миокарда (1,51 против 1,13 мг/л, P < 0,001) или ишемический инсульт (1,38 против 1,13 мг/л, P = 0,02), но не венозный тромбоз (1,26 против 1,13 мг на литр, P = 0,34), чем у мужчин без сосудистых событий. У мужчин в квартилях с самыми высокими значениями концентрации C-реактивного белка риск возникновения инфаркта миокарда в три (относительный риск, 2,9, P < 0,001) и риск возникновения ишемического инсульта (относительный риск 1,9; P = 0,02) в два раза превышал таковой у мужчин в наименьшей квартили. Риски были стабильными в течение длительного периода времени, их значения не были подвергнуты влиянию курению и не зависели от других факторов риска, связанных и не связанных с липидами. Использование аспирина было связано со значительным снижением риска инфаркта миокарда (снижение на 55,7%, P = = 0,02) среди мужчин в самом высоком квартиле, но с небольшими незначительными сокращениями среди низших квартилей (13,9%, P = 0,77).

Содержание слайда: Результаты статьи Экспериментальная концентрации С-реактивного белка в плазме предсказывает риск будущего инфаркта миокарда и инсульта. Более того, снижение, связанное с использованием аспирина в риске развития первого инфаркта миокарда, по-видимому, напрямую связано с уровнем С-реактивного белка, повышая вероятность того, что противовоспалительные агенты могут иметь клинические преимущества в профилактике сердечно-сосудистых заболеваний.

Содержание слайда: Список использованной литературы: Ивашёв-Мусатов О. С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ФИМА, 2003. — 224 с. Гланц С. Медико-биологическая статистика. Пер . с англ. — М., Практика, 1998. — 459 с. Кочнева Л.Ф., Липкина З.С., Новосельцева В. И. Теория вероятностей и математическая статистика (Часть III): Учеб. пособие - федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения», Москва, 2012. – 44с. Ridker P. M. et al. Inflammation, aspirin, and the risk of cardiovascular disease in apparently healthy men //New England journal of medicine. — 1997. — V. 336. — N. 14. — Pp. 973-979. Яровая Е. Б. Лекции курса основ теории вероятностей и математической статистики, прочитанные в МГУ имени М. В. Ломоносова на факультете фундаментальной медицины с 10.02.2017 по 18.05.2018.

Содержание слайда: